ID: 00019491
Входной контур коротковолнового радиоприёмника был настроен на частоту, соответствующую длине волны \lambda_1 = 16 м. После того как контур перестроили, изменив положение ферромагнитного сердечника внутри катушки индуктивности контура и сдвинув пластины его плоского воздушного конденсатора до вдвое меньшего расстояния между ними, резонансная частота контура стала равной \nu = 10 МГц. Как и во сколько раз n изменилась при этом индуктивность катушки контура?
Источник: ФИПИ
Резонанс LC-контура задаёт формула Томсона: частота зависит от произведения LC. Мы знаем, как изменилась ёмкость (через конденсатор) и как изменилась частота, — отсюда найдём, как изменилась индуктивность.
Начальная частота f_1 = \dfrac{c}{\lambda_1} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{16} \approx 1{,}875\cdot10^{7} Гц = 18{,}75 МГц. Конечная частота f_2 = \nu = 10 МГц.
Для плоского конденсатора C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}. Расстояние между пластинами уменьшили вдвое, поэтому ёмкость выросла вдвое: C_2 = 2C_1.
Из f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} следует LC = \dfrac{1}{4\pi^2 f^2}. Поделив конечное состояние на начальное: \dfrac{L_2 C_2}{L_1 C_1} = \dfrac{f_1^2}{f_2^2}, откуда n = \dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{f_1^2}{f_2^2}\cdot\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{f_1}{f_2}\right)^2 = \dfrac{1}{2}(1{,}875)^2 \approx 1{,}76. Так как n \gt 1, индуктивность увеличилась.
Ответ: индуктивность увеличилась примерно в 1{,}76 раза.
Индуктивность увеличилась в n \approx 1{,}76 раза