ID: 00019491
Входной контур коротковолнового радиоприёмника был настроен на частоту, соответствующую длине волны $\lambda_1 = 16$ м. После того как контур перестроили, изменив положение ферромагнитного сердечника внутри катушки индуктивности контура и сдвинув пластины его плоского воздушного конденсатора до вдвое меньшего расстояния между ними, резонансная частота контура стала равной $\nu = 10$ МГц. Как и во сколько раз $n$ изменилась при этом индуктивность катушки контура?
Источник: ФИПИ
Резонанс LC-контура задаёт формула Томсона: частота зависит от произведения $LC$. Мы знаем, как изменилась ёмкость (через конденсатор) и как изменилась частота, — отсюда найдём, как изменилась индуктивность.
Начальная частота $f_1 = \dfrac{c}{\lambda_1} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{16} \approx 1{,}875\cdot10^{7}$ Гц $= 18{,}75$ МГц. Конечная частота $f_2 = \nu = 10$ МГц.
Для плоского конденсатора $C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$. Расстояние между пластинами уменьшили вдвое, поэтому ёмкость выросла вдвое: $C_2 = 2C_1$.
Из $f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ следует $LC = \dfrac{1}{4\pi^2 f^2}$. Поделив конечное состояние на начальное: $\dfrac{L_2 C_2}{L_1 C_1} = \dfrac{f_1^2}{f_2^2}$, откуда $n = \dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{f_1^2}{f_2^2}\cdot\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{f_1}{f_2}\right)^2 = \dfrac{1}{2}(1{,}875)^2 \approx 1{,}76$. Так как $n \gt 1$, индуктивность увеличилась.
Индуктивность увеличилась в $n \approx 1{,}76$ раза