L/C контур

Задание №25. Электродинамика. Высокий Уровень Сложности

№2. Задание 25

ID: 00019491

Входной контур коротковолнового радиоприёмника был настроен на частоту, соответствующую длине волны $\lambda_1 = 16$ м. После того как контур перестроили, изменив положение ферромагнитного сердечника внутри катушки индуктивности контура и сдвинув пластины его плоского воздушного конденсатора до вдвое меньшего расстояния между ними, резонансная частота контура стала равной $\nu = 10$ МГц. Как и во сколько раз $$n$$ изменилась при этом индуктивность катушки контура?

Источник: ФИПИ

Решение

Идея

Резонанс LC-контура задаёт формула Томсона: частота зависит от произведения $$LC$$ . Мы знаем, как изменилась ёмкость (через конденсатор) и как изменилась частота, — отсюда найдём, как изменилась индуктивность.

Шаг 1. От длины волны к частоте

Начальная частота $f_1 = \dfrac{c}{\lambda_1} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{16} \approx 1{,}875\cdot10^{7}$ Гц $$= 18{,}75$$ МГц. Конечная частота $f_2 = \nu = 10$ МГц.

Шаг 2. Что стало с ёмкостью

Для плоского конденсатора $C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$ . Расстояние между пластинами уменьшили вдвое, поэтому ёмкость выросла вдвое: $$C_2 = 2C_1$$ .

Шаг 3. Формула Томсона и отношение

Из $f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ следует $LC = \dfrac{1}{4\pi^2 f^2}$ . Поделив конечное состояние на начальное: $\dfrac{L_2 C_2}{L_1 C_1} = \dfrac{f_1^2}{f_2^2}$ , откуда $n = \dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{f_1^2}{f_2^2}\cdot\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{f_1}{f_2}\right)^2 = \dfrac{1}{2}(1{,}875)^2 \approx 1{,}76$ . Так как $n \gt 1$ , индуктивность увеличилась.

Ответ

Индуктивность увеличилась в $n \approx 1{,}76$ раза

Другие задания по теме «L/C контур» (8)