ID: 00016900
Входной колебательный контур коротковолнового приемника, соединенный с антенной, был настроен на частоту ν = 20 МГц и состоял из катушки индуктивности L и двух конденсаторов ёмкостями C1 = 3C и C2 = C, соединенных параллельно. Во время грозы и близких разрядов молний конденсатор C1 был «пробит» и выгорел, так что в контуре остался только один конденсатор C2. Как и на сколько изменилась при этом длина волны λ, которую мог принимать приемник без перенастройки?
Источник: ФИПИ
\nu=20 МГц =20\cdot10^6 Гц; параллельно стояли C_1=3C и C_2=C; после грозы остался только C_2=C; c=3\cdot10^8 м/с.
как и на сколько изменилась длина волны \lambda без перенастройки.
Два параллельных конденсатора — как два бака для воды, соединённых рядом: суммарный объём складывается. Поэтому при параллельном соединении ёмкости тоже просто складываются. Сначала контур ловил длину волны \lambda_1, отвечающую частоте \nu:
\lambda_1=\frac{c}{\nu}=\frac{3\cdot10^8}{20\cdot10^6}=15\ \text{м}.
Полная ёмкость до грозы: C_{\text{нач}}=C_1+C_2=3C+C=4C. После пробоя C_1 выгорел, осталась только C_{\text{кон}}=C_2=C, то есть ёмкость упала в 4 раза.
Длина волны контура по формуле Томсона \lambda=2\pi c\sqrt{LC}, катушку не трогали, значит \lambda\propto\sqrt{C}. Берём отношение:
\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\sqrt{\frac{C_{\text{кон}}}{C_{\text{нач}}}}=\sqrt{\frac{C}{4C}}=\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;\lambda_2=\frac{\lambda_1}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5\ \text{м}.
Длина волны уменьшилась вдвое. Насколько именно: \Delta\lambda=\lambda_1-\lambda_2=15-7{,}5=7{,}5 м.
Логично: «бак» ёмкости стал в 4 раза меньше, контур стал ловить вдвое более короткую волну.
Длина волны уменьшилась в 2 раза, на \Delta\lambda=\lambda_1-\lambda_2=7{,}5 м (стала \lambda_2=7{,}5 м).