ID: 00016900
Входной колебательный контур коротковолнового приемника, соединенный с антенной, был настроен на частоту ν = 20 МГц и состоял из катушки индуктивности L и двух конденсаторов ёмкостями C1 = 3C и C2 = C, соединенных параллельно. Во время грозы и близких разрядов молний конденсатор C1 был «пробит» и выгорел, так что в контуре остался только один конденсатор C2. Как и на сколько изменилась при этом длина волны λ, которую мог принимать приемник без перенастройки?
Источник: ФИПИ
$\nu=20$ МГц $=20\cdot10^6$ Гц; параллельно стояли $C_1=3C$ и $C_2=C$; после грозы остался только $C_2=C$; $c=3\cdot10^8$ м/с.
как и на сколько изменилась длина волны $\lambda$ без перенастройки.
Два параллельных конденсатора — как два бака для воды, соединённых рядом: суммарный объём складывается. Поэтому при параллельном соединении ёмкости тоже просто складываются. Сначала контур ловил длину волны $\lambda_1$, отвечающую частоте $\nu$:
$$\lambda_1=\frac{c}{\nu}=\frac{3\cdot10^8}{20\cdot10^6}=15\ \text{м}.$$
Полная ёмкость до грозы: $C_{\text{нач}}=C_1+C_2=3C+C=4C$. После пробоя $C_1$ выгорел, осталась только $C_{\text{кон}}=C_2=C$, то есть ёмкость упала в $4$ раза.
Длина волны контура по формуле Томсона $\lambda=2\pi c\sqrt{LC}$, катушку не трогали, значит $\lambda\propto\sqrt{C}$. Берём отношение:
$$\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\sqrt{\frac{C_{\text{кон}}}{C_{\text{нач}}}}=\sqrt{\frac{C}{4C}}=\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;\lambda_2=\frac{\lambda_1}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5\ \text{м}.$$
Длина волны уменьшилась вдвое. Насколько именно: $\Delta\lambda=\lambda_1-\lambda_2=15-7{,}5=7{,}5$ м.
Логично: «бак» ёмкости стал в 4 раза меньше, контур стал ловить вдвое более короткую волну.
Длина волны уменьшилась в 2 раза, на $\Delta\lambda=\lambda_1-\lambda_2=7{,}5$ м (стала $\lambda_2=7{,}5$ м).