ID: 00016990
В электрической цепи к батарее с ЭДС $\varepsilon = 9$ В и внутренним сопротивлением $r = 100$ Ом присоединена последовательно цепь из двух резисторов сопротивлениями $R_1 = 1{,}5$ кОм и $R_2 = 2{,}4$ кОм. Резисторы $R_1$ и $R_2$ соединены последовательно и образуют замкнутый контур с батареей; точка $0$ — узел между резисторами $R_1$ и $R_2$. К точке $0$ присоединена одна обкладка конденсатора ёмкостью $C = 4$ мкФ, а вторая его обкладка через ключ $K$ может подключаться либо к точке $1$ (вывод батареи со стороны $R_1$), либо к точке $2$ (вывод батареи со стороны $R_2$). На сколько изменяется заряд $Q$ конденсатора при переключении ключа из положения «1» в положение «2», если в обоих положениях процессы зарядки и перезарядки уже закончились? Ответ укажите с учётом знака.
Источник: ФИПИ
$\varepsilon=9$ В; $\;r=100$ Ом; $\;R_1=1{,}5$ кОм $=1500$ Ом; $\;R_2=2{,}4$ кОм $=2400$ Ом; $\;C=4$ мкФ $=4\cdot10^{-6}$ Ф
$\Delta Q=Q_2-Q_1$ — изменение заряда конденсатора при переключении ключа из «1» в «2»
Конденсатор тока не пропускает — это как закрытая дверь в коридоре: пока процесс установился, через ветку с конденсатором никто не «ходит». Поэтому весь ток идёт по основному кольцу батарея–$R_1$–$R_2$, а конденсатор просто «подслушивает» напряжение между двумя точками, к которым он подключён, и набирает соответствующий заряд.
Сначала ток в основном контуре по закону Ома для полной цепи (резисторы соединены последовательно с внутренним сопротивлением):
$$I=\frac{\varepsilon}{r+R_1+R_2}=\frac{9}{100+1500+2400}=\frac{9}{4000}=2{,}25\cdot10^{-3}\ \text{А}.$$
Подвижная обкладка конденсатора подключается к точке 1 или 2, неподвижная — к точке 0. Будем следить за зарядом на подвижной обкладке: он равен $Q=C\,(V_{\text{ключ}}-V_0)$.
Положение 1 (ключ к точке 1, это вывод батареи со стороны $R_1$). Напряжение между точкой 1 и точкой 0 — это падение на $R_1$: $\;U_1=V_1-V_0=I R_1=2{,}25\cdot10^{-3}\cdot1500=3{,}375$ В. Заряд $Q_1=C\,U_1=4\cdot10^{-6}\cdot3{,}375=+13{,}5$ мкКл.
Положение 2 (ключ к точке 2, вывод со стороны $R_2$). Точка 2 лежит по другую сторону от точки 0, поэтому относительно точки 0 её потенциал противоположного знака; напряжение равно падению на $R_2$, взятому со знаком минус: $\;U_2=V_2-V_0=-I R_2=-2{,}25\cdot10^{-3}\cdot2400=-5{,}4$ В. Заряд $Q_2=C\,U_2=4\cdot10^{-6}\cdot(-5{,}4)=-21{,}6$ мкКл.
Изменение заряда при переключении из «1» в «2»:
$$\Delta Q=Q_2-Q_1=-21{,}6-(+13{,}5)=-35{,}1\ \text{мкКл}.$$
Знак «минус» означает, что заряд этой обкладки не просто уменьшился, а сменил знак (конденсатор перезарядился): был заряжен в одну сторону на $13{,}5$ мкКл, стал в другую на $21{,}6$ мкКл. По модулю переброшено $|\Delta Q|=35{,}1$ мкКл $\approx3{,}51\cdot10^{-5}$ Кл.
$\Delta Q = -35{,}1$ мкКл $\approx -3{,}51\cdot10^{-5}$ Кл