L/C контур — Задание 25 ЕГЭ по физике №00016898

Дано:

$\lambda_1=32$ м; $\;N_2=\dfrac{N_1}{2}$ (число витков уменьшили вдвое); магнитное поле каждого витка $\propto$ силе тока, весь поток пронизывает каждый виток.

Найти:

как и на сколько изменилась длина волны $\lambda$.

Решение:

Катушка — как пружина: чем больше витков, тем сильнее она «упирается» переменному току. Эта «упругость» катушки называется индуктивностью $L$, и она зависит от числа витков не линейно, а в квадрате. Почему квадрат? Поток через один виток $\Phi_1\propto I$, а полный поток через все $N$ витков ещё в $N$ раз больше: $\Psi=N\Phi_1\propto NI$. Индуктивность — это коэффициент в $\Psi=LI$, значит $L\propto N\cdot N=N^2$.

Длина волны, на которую настроен контур, задаётся формулой Томсона через период колебаний: $$\lambda=cT=2\pi c\sqrt{LC}.$$

Ёмкость $C$ не трогали, скорость света $c$ постоянна, поэтому $\lambda\propto\sqrt{L}\propto\sqrt{N^2}=N$. Длина волны прямо пропорциональна числу витков. Берём отношение:

$$\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{N_2}{N_1}=\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;\lambda_2=\frac{\lambda_1}{2}=\frac{32}{2}=16\ \text{м}.$$

Длина волны уменьшилась вдвое. Насколько именно: $\Delta\lambda=\lambda_1-\lambda_2=32-16=16$ м.

Логично: убрали половину витков — «пружина» катушки стала слабее, контур стал ловить более короткие волны.