ID: 00015309
Ион с зарядом $q=3{,}2\cdot10^{-19}$ Кл и массой $m=1{,}5\cdot10^{-25}$ кг проходит ускоряющую разность потенциалов $U$. После этого он влетает в магнитное поле с индукцией $B=0{,}3$ Тл и движется в нём по окружности радиусом $R=0{,}25$ м. Найдите ускоряющую разность потенциалов $U$ (начальной скоростью и силой тяжести пренебречь).
Источник: ФИПИ
Задача из двух «этажей». Сначала электрическое поле разгоняет ион — вся работа поля переходит в кинетическую энергию (это закон сохранения энергии для заряда в поле). Потом этот же ион уже в магнитном поле бежит по окружности, и радиус связывает скорость с зарядом, массой и полем. Скорость — это «мостик» между двумя этажами: её мы выразим из магнитной части и подставим в энергетическую.
Работа поля $qU$ идёт на кинетическую энергию иона: $$qU=\dfrac{mv^2}{2}.$$
Сила Лоренца — центростремительная: $qvB=\dfrac{mv^2}{R}$, откуда радиус $R=\dfrac{mv}{qB}$. Выразим скорость: $$v=\dfrac{qBR}{m}.$$
Подставим $v$ в энергию: $$U=\dfrac{mv^2}{2q}=\dfrac{m}{2q}\left(\dfrac{qBR}{m}\right)^2=\dfrac{qB^2R^2}{2m}.$$
$$U=\dfrac{3{,}2\cdot10^{-19}\cdot(0{,}3)^2\cdot(0{,}25)^2}{2\cdot1{,}5\cdot10^{-25}}=\dfrac{3{,}2\cdot10^{-19}\cdot0{,}09\cdot0{,}0625}{3\cdot10^{-25}}=6000\ \text{В}.$$
U = 6000 В