Термодинамическая… — Задание 8 ЕГЭ по физике №00015259

Нужно сравнить работу газа за два цикла. Главная мысль всей задачи: на $pV$-диаграмме работа газа за цикл равна площади фигуры, которую этот цикл очерчивает. Значит, считать интегралы и температуры не нужно — достаточно аккуратно посчитать площади в клетках.

Чисел на осях нет, но есть сетка. Введём удобные обозначения: одна клетка по горизонтали — это шаг объёма, одна клетка по вертикали — шаг давления. Тогда «площадь одной клетки» — это одна и та же порция работы для обоих циклов, и в отношении она всё равно сократится.

Что видно на рисунке. Отсчитываем координаты вершин в клетках от начала осей.

Цикл 1 (нижняя фигура) — четырёхугольник с вершинами: $(2;\,2)$, $(2;\,6)$, $(10;\,6)$ и $(6;\,2)$. То есть слева вертикальный участок при $V = 2$ (давление растёт с 2 до 6), сверху горизонтальный участок при $p = 6$ (объём растёт с 2 до 10), затем наклонная линия вниз-влево из точки $(10;\,6)$ в точку $(6;\,2)$, и снизу горизонтальный возврат при $p = 2$ от $V = 6$ до $V = 2$.

Цикл 2 (верхняя фигура) — четырёхугольник с вершинами: $(2;\,10)$, $(2;\,12)$, $(6;\,12)$ и $(6;\,8)$. Слева короткий вертикальный участок при $V = 2$ (давление с 10 до 12), сверху горизонтальный при $p = 12$ (объём с 2 до 6), справа вертикальный вниз при $V = 6$ (давление с 12 до 8), и назад — наклонная линия из $(6;\,8)$ в $(2;\,10)$.

Площадь цикла 1. Это трапеция, у которой две горизонтальные параллельные стороны. Верхняя (при $p=6$) тянется от $V=2$ до $V=10$, её длина 8 клеток. Нижняя (при $p=2$) тянется от $V=2$ до $V=6$, её длина 4 клетки. Расстояние между ними по вертикали: от $p=2$ до $p=6$, то есть 4 клетки. Площадь трапеции — полусумма оснований на высоту:

$$S_1 = \frac{8 + 4}{2}\cdot 4 = 24 \text{ клетки}$$

Площадь цикла 2. Это тоже трапеция, но у неё параллельны вертикальные стороны. Левая (при $V=2$) идёт от $p=10$ до $p=12$, её длина 2 клетки. Правая (при $V=6$) идёт от $p=8$ до $p=12$, её длина 4 клетки. Расстояние между ними по горизонтали: от $V=2$ до $V=6$, то есть 4 клетки. Тогда

$$S_2 = \frac{2 + 4}{2}\cdot 4 = 12 \text{ клеток}$$

Отношение работ. Работа за цикл равна площади цикла, а «цена» одной клетки у обеих фигур одинаковая, поэтому она сокращается:

$$\left|\frac{A_1}{A_2}\right| = \frac{S_1}{S_2} = \frac{24}{12} = 2$$

Проверка себя. Оценим на глаз: фигура цикла 1 заметно шире и заметно ниже фигуры цикла 2, но в целом выглядит примерно вдвое «объёмнее» — полученная двойка этому не противоречит. Полезно помнить и общее правило: раз в задаче спрашивают только отношение работ, конкретные значения давления и объёма в единицах СИ не нужны — вся информация уже есть в клетках сетки.