Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00014643

Идея

В магнитном поле заряженная частица, влетевшая перпендикулярно полю, движется по окружности: сила Лоренца играет роль центростремительной. Радиус такой окружности $R = \dfrac{mv}{qB}$. Нам дана кинетическая энергия, поэтому скорость удобно выразить через импульс: $p = mv = \sqrt{2mW}$. Тогда радиус красиво свяжется с массой, зарядом и энергией.

Шаг 1. Радиус через энергию

Из $\dfrac{mv^2}{R} = qvB$ получаем $R = \dfrac{mv}{qB} = \dfrac{p}{qB}$. Импульс через кинетическую энергию: $W = \dfrac{p^2}{2m}\Rightarrow p = \sqrt{2mW}$. Значит

$$R = \frac{\sqrt{2mW}}{qB}.$$

Шаг 2. Берём отношение радиусов

Поле $B$ и энергия $W$ у частиц одинаковы, поэтому

$$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\sqrt{m_2}\,/\,q_2}{\sqrt{m_1}\,/\,q_1} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}\cdot\frac{q_1}{q_2}.$$

По условию $q_2/q_1 = 1/2$, то есть $q_1/q_2 = 2$, и $R_2/R_1 = 2$:

$$2 = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}\cdot 2 \;\;\Rightarrow\;\; \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = 1 \;\;\Rightarrow\;\; \frac{m_2}{m_1} = 1.$$

Подвох: у второй частицы вдвое меньший заряд «раздул» бы радиус вдвое сам по себе — и этого как раз хватило, чтобы при равных массах дать $R_2/R_1 = 2$. Поэтому массы равны.