ID: 00014604
Автомобиль с выключенным двигателем проехал $s = 50$ м вниз по дороге, проложенной под углом $30^\circ$ к горизонту. При этом его скорость достигла $v = 30$ м/с. Какова начальная скорость автомобиля? Трением пренебречь.
Ответ дайте в м/с.
Источник: Сборник Гиголо
Теперь машина едет вниз, и спуск её разгоняет: потерянная высота превращается в дополнительную скорость. Трения нет, двигатель выключен — только спуск меняет скорость. Свяжем верх и низ склона законом сохранения энергии.
Проехав путь $s$ под углом $30^\circ$, автомобиль опустился на высоту:
$$h = s \sin 30^\circ = 50 \cdot 0{,}5 = 25 \text{ м}.$$
Наверху у машины была начальная скорость $v_0$ и запас высоты $h$, внизу — только увеличившаяся скорость $v$:
$$\frac{mv_0^2}{2} + mgh = \frac{mv^2}{2}.$$
Сокращаем массу и выражаем начальную скорость:
$$v_0^2 = v^2 - 2gh = 30^2 - 2 \cdot 10 \cdot 25 = 900 - 500 = 400,$$
$$v_0 = \sqrt{400} = 20 \text{ м/с}.$$
Логика та же, что при подъёме, только знак другой: вниз — высота прибавляет скорость, поэтому начальная скорость (20 м/с) меньше конечной (30 м/с). Сходится.