Идея

Прочитаем цикл в осях p–T, определим каждый процесс, перестроим его в осях p–V и сравним работы как площади под графиками.

Разбираем процессы

По клеткам графика точка 1 — это (T_0,\,p_0), точка 2 — (2T_0,\,2p_0), точка 3 — (2T_0,\,p_0). Объём в точке 1 обозначим V_1=V_0=\dfrac{\nu R T_0}{p_0}.

1–2: точки 1 и 2 лежат на луче из начала координат, значит \dfrac{p}{T}=\text{const}. Из pV=\nu RT получаем V=\text{const} — это изохора. Подсчёт: V_2=\dfrac{\nu R\cdot 2T_0}{2p_0}=V_0 — объём действительно тот же. Работа газа равна нулю.

2–3: в осях p–T это вертикальный отрезок при T=2T_0 — изотерма. Давление падает вдвое (2p_0\to p_0), поэтому по закону Бойля–Мариотта объём растёт вдвое: V_3=2V_0. Газ расширяется — работа газа положительна.

3–1: горизонтальный отрезок при p=p_0 — изобара. Температура уменьшается (2T_0\to T_0), объём уменьшается 2V_0\to V_0. Газ сжимают внешние силы.

Строим цикл в координатах p–V

1–2 — вертикальный отрезок вверх (изохора, V=V_0, давление растёт p_0\to 2p_0); 2–3 — дуга гиперболы вниз (изотерма, p падает 2p_0\to p_0, объём растёт V_0\to 2V_0); 3–1 — горизонтальный отрезок влево (изобара, p=p_0, объём уменьшается 2V_0\to V_0).

Сравниваем работы

Работа газа численно равна площади под линией процесса в осях p–V.

Процесс 3–1 — изобарное сжатие, поэтому работа внешних сил по модулю равна площади прямоугольника под изобарой:

A_{\text{внеш},\,3\text{-}1} = p_0\,(V_3-V_1) = p_0\,(2V_0-V_0) = p_0 V_0.

Процесс 2–3 — изотермическое расширение; площадь под гиперболой больше, чем под изобарой p=p_0 на том же интервале объёмов (изотерма идёт выше уровня p_0). Точное значение:

A_{2\text{-}3} = \nu R T_2\ln\frac{V_3}{V_2} = p_2 V_2\ln\frac{V_3}{V_2} = 2p_0 V_0\cdot\ln 2 \approx 1{,}39\,p_0 V_0.

Итого A_{2\text{-}3}\approx 1{,}39\,p_0V_0 \gt A_{\text{внеш},\,3\text{-}1}=p_0V_0: работа газа в процессе 2–3 больше работы внешних сил в процессе 3–1.