Термодинамика (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00014330

Идея

Прочитаем цикл в осях $p$–$T$, определим каждый процесс, перестроим его в осях $p$–$V$ и сравним работы как площади под графиками.

Разбираем процессы

По клеткам графика точка 1 — это $(T_0,\,p_0)$, точка 2 — $(2T_0,\,2p_0)$, точка 3 — $(2T_0,\,p_0)$. Объём в точке 1 обозначим $V_1=V_0=\dfrac{\nu R T_0}{p_0}$.

1–2: точки 1 и 2 лежат на луче из начала координат, значит $\dfrac{p}{T}=\text{const}$. Из $pV=\nu RT$ получаем $V=\text{const}$ — это изохора. Подсчёт: $V_2=\dfrac{\nu R\cdot 2T_0}{2p_0}=V_0$ — объём действительно тот же. Работа газа равна нулю.

2–3: в осях $p$–$T$ это вертикальный отрезок при $T=2T_0$ — изотерма. Давление падает вдвое ($2p_0\to p_0$), поэтому по закону Бойля–Мариотта объём растёт вдвое: $V_3=2V_0$. Газ расширяется — работа газа положительна.

3–1: горизонтальный отрезок при $p=p_0$ — изобара. Температура уменьшается ($2T_0\to T_0$), объём уменьшается $2V_0\to V_0$. Газ сжимают внешние силы.

Строим цикл в координатах p–V

1–2 — вертикальный отрезок вверх (изохора, $V=V_0$, давление растёт $p_0\to 2p_0$); 2–3 — дуга гиперболы вниз (изотерма, $p$ падает $2p_0\to p_0$, объём растёт $V_0\to 2V_0$); 3–1 — горизонтальный отрезок влево (изобара, $p=p_0$, объём уменьшается $2V_0\to V_0$).

Сравниваем работы

Работа газа численно равна площади под линией процесса в осях $p$–$V$.

Процесс 3–1 — изобарное сжатие, поэтому работа внешних сил по модулю равна площади прямоугольника под изобарой:

$$A_{\text{внеш},\,3\text{-}1} = p_0\,(V_3-V_1) = p_0\,(2V_0-V_0) = p_0 V_0.$$

Процесс 2–3 — изотермическое расширение; площадь под гиперболой больше, чем под изобарой $p=p_0$ на том же интервале объёмов (изотерма идёт выше уровня $p_0$). Точное значение:

$$A_{2\text{-}3} = \nu R T_2\ln\frac{V_3}{V_2} = p_2 V_2\ln\frac{V_3}{V_2} = 2p_0 V_0\cdot\ln 2 \approx 1{,}39\,p_0 V_0.$$

Итого $A_{2\text{-}3}\approx 1{,}39\,p_0V_0 \gt A_{\text{внеш},\,3\text{-}1}=p_0V_0$: работа газа в процессе 2–3 больше работы внешних сил в процессе 3–1.