Динамика — Задание 5 ЕГЭ по физике №00004915 | Global EE
Динамика — Задание 5 ЕГЭ по физике №00004915
№2. Задание 5
ID: 00004915
Школьник прочитал в научно-популярной книге, что ускорение свободного падения на поверхности Луны в 6 раз меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли, масса Земли равна 6 · 1024 кг, а радиус Земли примерно в 3,7 раз больше радиуса Луны. Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения, относящиеся к Земле и Луне. Запишите цифры, под которыми они указаны.
1) Если подбросить тело массой 1 кг вертикально вверх с одинаковой начальной скоростью на Земле и Луне, то на Земле, без учёта сопротивления воздуха, максимальная высота подъёма этого тела будет в 6 раз меньше, чем на Луне.
2) Средняя плотность Земли равна средней плотности Луны.
3) Масса Луны примерно равна 7,3 · 1022 кг.
4) Радиус Земли примерно равен 9000 км.
5) Вес покоящегося тела на поверхности Луны в 6 раз меньше, чем на поверхности Земли.
Утверждение 1. Если подбросить тело массой $1 \text{ кг}$ вертикально вверх с одинаковой начальной скоростью $v_0$ на Земле и на Луне, то на Земле максимальная высота подъёма будет в 6 раз меньше.
По закону сохранения энергии (без сопротивления воздуха):
$$H = \frac{v_0^2}{2g}$$
Так как $g_{\text{Луны}} = g_{\text{Земли}}/6$, то:
$$\frac{H_{\text{Земли}}}{H_{\text{Луны}}} = \frac{g_{\text{Луны}}}{g_{\text{Земли}}} = \frac{1}{6}$$
Верно.
Утверждение 2. Средняя плотность Земли равна средней плотности Луны.
Ускорение свободного падения: $g = \dfrac{GM}{R^2}$.
Отношение ускорений:
$$\frac{g_{\text{Земли}}}{g_{\text{Луны}}} = 6 = \frac{M_{\text{Земли}}}{M_{\text{Луны}}} \cdot \left(\frac{R_{\text{Луны}}}{R_{\text{Земли}}}\right)^2 = \frac{M_{\text{Земли}}}{M_{\text{Луны}}} \cdot \frac{1}{3{,}7^2}$$
Отсюда:
$$\frac{M_{\text{Земли}}}{M_{\text{Луны}}} = 6 \cdot 3{,}7^2 = 6 \cdot 13{,}69 \approx 82{,}14$$
Плотность: $\rho = \dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$$$\frac{\rho_{\text{Земли}}}{\rho_{\text{Луны}}} = \frac{M_{\text{Земли}}}{M_{\text{Луны}}} \cdot \left(\frac{R_{\text{Луны}}}{R_{\text{Земли}}}\right)^3 = 82{,}14 \cdot \frac{1}{3{,}7^3} = \frac{82{,}14}{50{,}65} \approx 1{,}62$$
Плотности различаются примерно в $1{,}62$ раза. Неверно.
Утверждение 3. Масса Луны примерно $7{,}3 \cdot 10^{22} \text{ кг}$.
$$M_{\text{Луны}} = \frac{M_{\text{Земли}}}{82{,}14} = \frac{6 \cdot 10^{24}}{82{,}14} \approx 7{,}3 \cdot 10^{22} \text{ кг}$$
Верно.
Утверждение 4. Радиус Земли примерно $9000 \text{ км}$.
$$R_{\text{Земли}} = \sqrt{\frac{GM_{\text{Земли}}}{g_{\text{Земли}}}} = \sqrt{\frac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{10}} \approx 6{,}3 \cdot 10^6 \text{ м} \approx 6300 \text{ км}$$
Неверно ($9000 \text{ км}$ — завышено).
Утверждение 5. Вес покоящегося тела на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле.
Для покоящегося тела: $P = mg$. Поскольку $g_{\text{Луны}} = g_{\text{Земли}}/6$ и масса тела $m$ не меняется:
$$\frac{P_{\text{Земли}}}{P_{\text{Луны}}} = \frac{g_{\text{Земли}}}{g_{\text{Луны}}} = 6$$
Верно.
Верные утверждения: 1, 3, 5.
