Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00045917

💡 Идея. Для многоугольника с вписанной окружностью площадь равна полупериметру, умноженному на радиус, — так сразу получим высоту. Потом найдём основания, а точка пересечения диагоналей разделит высоту в отношении оснований.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, $BC=a$ — меньшее основание, $AD=b$ — большее, $AB=CD=c$, $O$ — точка пересечения диагоналей, $r$ — радиус вписанной окружности.

Отрезки касательных, проведённых из одной вершины к окружности, равны. Обозначим их длины у вершин $A$, $B$, $C$, $D$ через $x_A$, $x_B$, $x_C$, $x_D$. Тогда $AB+CD=(x_A+x_B)+(x_C+x_D)$ и $BC+AD=(x_B+x_C)+(x_A+x_D)$ — суммы одинаковые. Значит, $a+b=2c$. При периметре $68$: $2(a+b)=68$, $a+b=34$ и $c=17$.

Соединим центр вписанной окружности с вершинами: трапеция разрежется на четыре треугольника, у каждого высота, опущенная на сторону трапеции, равна $r$. Поэтому $S=\dfrac{1}{2}r(a+b+2c)=p\cdot r$, где $p=34$ — полупериметр. Отсюда $136=34r$ и $r=4$. Высота трапеции — расстояние между параллельными касательными, то есть диаметр: $h=2r=8$.

Опустим высоту $BH$ на $AD$; в равнобедренной трапеции $AH=\dfrac{b-a}{2}$. Из прямоугольного треугольника $ABH$:

$$AH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15.$$

Значит, $b-a=30$, и вместе с $a+b=34$: $b=\dfrac{34+30}{2}=32$, $a=\dfrac{34-30}{2}=2$.

Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны: углы при $O$ вертикальные, а накрест лежащие углы при $AD\parallel BC$ и секущей $AC$ равны. Коэффициент подобия $\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{32}{2}=16$.

Перпендикуляр к основаниям, проведённый через $O$, делится этой точкой на высоты двух треугольников: $h_1$ — до $AD$ и $h_2$ — до $BC$, причём $h_1=16h_2$ и $h_1+h_2=8$. Тогда $17h_2=8$, $h_2=\dfrac{8}{17}$ и

$$h_1=16\cdot\dfrac{8}{17}=\dfrac{128}{17}=7\dfrac{9}{17}.$$

Расстояние от точки пересечения диагоналей до большего основания равно $\dfrac{128}{17}$, то есть $7\dfrac{9}{17}$.

Проверим себя: площадь $\dfrac{2+32}{2}\cdot8=17\cdot8=136$ и периметр $2+32+17+17=68$ — как в условии; кроме того, $h^{2}=64=2\cdot32$, как и положено равнобедренной трапеции с вписанной окружностью. И $\dfrac{128}{17}+\dfrac{8}{17}=\dfrac{136}{17}=8$ — это вся высота.