Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00045908

Точка касания $E$ лежит на прямой $AB$, но не обязательно между $A$ и $B$. Поэтому высота из $E$ может попасть и на продолжение $CD$. Найдём расстояние способом, который работает в любом из этих положений.

Обозначим расстояние от $E$ до прямой $CD$ через $h$. Поскольку $AB$ перпендикулярна обоим основаниям, расстояние от $C$ до прямой $AB$ равно $BC=20$, а от $D$ до неё — $AD=45$.

Пусть $\alpha$ — меньший угол между прямой $AB$ и хордой $EC$, а $\beta$ — меньший угол между этой прямой и хордой $ED$. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Поэтому перпендикулярные расстояния до касательной дают

$$\sin\alpha=\dfrac{BC}{EC},\qquad \sin\beta=\dfrac{AD}{ED}.$$

Равенства сохраняются и в возможном крайнем случае $E=A$: хорда $ED$ совпадает с основанием $AD$ и перпендикулярна касательной, поэтому $\beta=90^\circ$ и $AD/ED=1$.

Теперь используем теорему об угле между касательной и хордой. Вписанный угол, опирающийся на ту же хорду, равен одному из двух углов между касательной и хордой. Эти два угла в сумме дают $180^\circ$ и имеют одинаковые синусы. Значит, независимо от положения $E$,

$$\sin\angle EDC=\sin\alpha=\dfrac{BC}{EC},\qquad \sin\angle ECD=\sin\beta=\dfrac{AD}{ED}.$$

Расстояние от $E$ до прямой $CD$ можно выразить через любую из сторон $ED$ и $EC$. Если основание перпендикуляра лежит на продолжении стороны, берём дополнительный острый угол; его синус тот же. Поэтому

$$h=ED\sin\angle EDC=\dfrac{ED\cdot BC}{EC},$$

$$h=EC\sin\angle ECD=\dfrac{EC\cdot AD}{ED}.$$

Перемножим равенства. Хорды $EC$ и $ED$ имеют положительные длины, поэтому их можно сократить:

$$h^2=\dfrac{ED\cdot BC}{EC}\cdot\dfrac{EC\cdot AD}{ED}=BC\cdot AD=20\cdot45=900.$$

Длина положительна, значит, $h=\sqrt{900}=30$.

Проверим на конкретной допустимой конфигурации: $A(0;0)$, $B(0;60)$, $C(20;60)$, $D(45;0)$, $E(0;30)$. Окружность с центром $(32{,}5;30)$ и радиусом $32{,}5$ проходит через $C$ и $D$ и касается $AB$ в $E$. Здесь $CD=\sqrt{25^2+60^2}=65$, а площадь $ECD$ равна $1950-300-675=975$. Высота равна $2\cdot975:65=30$. Общий вывод выше не использует ни эту высоту трапеции, ни положение $E$ внутри отрезка.