Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00045909

Здесь нужно расстояние от точки касания до прямой $CD$. Важно сохранить слово «прямая»: точка $E$ может находиться на продолжении $AB$, и основание перпендикуляра из неё тоже может выйти за отрезок $CD$.

Обозначим искомое расстояние через $d$, длину хорды $EC$ — через $u$, а хорды $ED$ — через $v$. Оба числа $u$ и $v$ положительны: точки $C$ и $D$ находятся вне прямой $AB$.

Проведённые к касательной перпендикуляры — это основания трапеции: $BC=12$ и $AD=27$. Поэтому синус угла между хордой $EC$ и касательной равен $12/u$, а между хордой $ED$ и касательной — $27/v$. Это обычное отношение перпендикулярного катета к гипотенузе. В крайнем случае $E=A$ хорда $ED$ совпадает с $AD$, поэтому второе отношение равно $1$, как и синус прямого угла.

По теореме о касательной и хорде угол при $D$ треугольника $ECD$ либо равен углу между касательной и $EC$, либо дополняет его до $180^\circ$. Синусы в обоих случаях одинаковы. Для угла при $C$ рассуждаем так же, используя хорду $ED$:

$$\sin\angle EDC=\dfrac{12}{u},\qquad \sin\angle ECD=\dfrac{27}{v}.$$

Высота к прямой $CD$ равна стороне $ED$, умноженной на синус угла при $D$. Это верно и для тупого угла: в прямоугольном треугольнике с основанием на продолжении используется дополнительный угол с тем же синусом. Аналогичная запись получается через сторону $EC$:

$$d=v\cdot\dfrac{12}{u},\qquad d=u\cdot\dfrac{27}{v}.$$

Каждое равенство содержит неизвестные хорды, но при умножении равенств они сокращаются:

$$d^2=\dfrac{12v}{u}\cdot\dfrac{27u}{v}=12\cdot27=324.$$

Расстояние неотрицательно, а его квадрат положителен. Поэтому $d=\sqrt{324}=18$.

Проверим числом. Возьмём трапецию высоты $20$ с координатами $A(0;0)$, $B(0;20)$, $C(12;20)$, $D(27;0)$ и точку $E(0;6)$. Подходящий центр окружности — $(85/6;6)$. Здесь $EC^2=12^2+14^2=340$, $ED^2=27^2+6^2=765$. По первому равенству $d^2=12^2\cdot765/340=324$, по второму — $27^2\cdot340/765=324$. Оба способа подтверждают расстояние $18$.