Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00045916

💡 Идея. Вписанная окружность даёт равенство сумм противоположных сторон, а площадь — высоту. Из прямоугольного треугольника у боковой стороны найдём основания. Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований — это следует из подобия треугольников при основаниях.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с меньшим основанием $BC=a$, большим $AD=b$, боковыми сторонами $AB=CD=c$ и высотой $h$; $O$ — точка пересечения диагоналей.

У четырёхугольника с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны. Объяснение: из каждой вершины выходят два равных отрезка касательных; в каждую из сумм попадает по одному такому отрезку от каждой вершины. Поэтому $a+b=2c$. Периметр $a+b+2c=100$, то есть $2(a+b)=100$, откуда $a+b=50$ и $c=25$.

Площадь трапеции — полусумма оснований, умноженная на высоту: $\dfrac{a+b}{2}\cdot h=25h=375$, поэтому $h=15$.

Опустим высоту $BH$ на $AD$. В равнобедренной трапеции $AH=\dfrac{b-a}{2}$. Из прямоугольного треугольника $ABH$:

$$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20.$$

Значит, $b-a=40$. Вместе с $a+b=50$ получаем $b=\dfrac{50+40}{2}=45$ и $a=\dfrac{50-40}{2}=5$.

Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны: углы при $O$ вертикальные, а $\angle OAD=\angle OCB$ как накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $AC$. Коэффициент подобия $\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{45}{5}=9$.

Проведём через $O$ перпендикуляр к основаниям. Точка $O$ делит его на высоты этих треугольников: $h_1$ — до $AD$ и $h_2$ — до $BC$, причём $h_1+h_2=h=15$. Высоты подобных треугольников относятся как коэффициент подобия: $h_1=9h_2$. Тогда $10h_2=15$, $h_2=1{,}5$ и $h_1=9\cdot1{,}5=13{,}5$.

Расстояние от точки пересечения диагоналей до большего основания равно $13{,}5$.

Проверим себя. В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью квадрат высоты равен произведению оснований: $15^{2}=225=5\cdot45$ — верно. Площадь $\dfrac{5+45}{2}\cdot15=375$ и периметр $5+45+25+25=100$ тоже сходятся с условием.