Треугольники — Задание 25 ОГЭ по математике №00045915

💡 Идея. Найдём, как точка $P$ делит $BC$, проведя через середину $M$ прямую, параллельную $BC$: появятся средняя линия и пара подобных треугольников. Потом выразим обе площади в долях площади всего треугольника.

Через $M$ проведём прямую, параллельную $BC$; она пересечёт отрезок $AP$ в точке $N$.

В треугольнике $APC$ отрезок $MN$ выходит из середины $M$ стороны $AC$ параллельно стороне $PC$, значит, $MN$ — средняя линия: $MN=\dfrac{1}{2}PC$.

Треугольники $KMN$ и $KBP$ подобны: углы при $K$ вертикальные, а $\angle KMN=\angle KBP$ как накрест лежащие при $MN\parallel BP$ и секущей $BM$. Поэтому

$$\dfrac{BP}{MN}=\dfrac{BK}{KM}=\dfrac{4}{5},\qquad BP=\dfrac{4}{5}MN=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{2}PC=\dfrac{2}{5}PC.$$

Значит, $BP:PC=2:5$, и $PC=\dfrac{5}{7}BC$.

Пусть $S_{ABC}=S$. Медиана $BM$ делит треугольник на две равные по площади части: $S_{ABM}=S_{CBM}=\dfrac{S}{2}$, потому что основания $AM=MC$, а высота из $B$ общая.

Треугольники $AKM$ и $ABM$ имеют общую вершину $A$ и основания $KM$ и $BM$ на одной прямой, поэтому

$$S_{AKM}=\dfrac{KM}{BM}\cdot S_{ABM}=\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{S}{2}=\dfrac{5S}{18}.$$

Точно так же для вершины $C$: $S_{CBK}=\dfrac{BK}{BM}\cdot S_{CBM}=\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{S}{2}=\dfrac{2S}{9}$.

Треугольники $CKP$ и $CKB$ имеют общую вершину $K$ и основания на прямой $BC$:

$$S_{CKP}=\dfrac{PC}{BC}\cdot S_{CKB}=\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{2S}{9}=\dfrac{10S}{63}.$$

Искомое отношение:

$$\dfrac{S_{CKP}}{S_{AKM}}=\dfrac{10S}{63}:\dfrac{5S}{18}=\dfrac{10\cdot18}{63\cdot5}=\dfrac{180}{315}=\dfrac{4}{7}.$$

Отношение площадей равно $4:7$.

Проверим себя на конкретном треугольнике: $B(0;0)$, $C(18;0)$, $A(0;18)$. Тогда $M(9;9)$, и $K$ делит $BM$ в отношении $4:5$: $K(4;4)$. Прямая $AK$ при сдвиге на $4$ вправо опускается на $14$, поэтому ось $BC$ она пересекает при $x=\dfrac{18}{14}\cdot4=\dfrac{36}{7}$, и $PC=18-\dfrac{36}{7}=\dfrac{90}{7}$ — действительно $BP:PC=36:90=2:5$. Площади: $S_{CKP}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{90}{7}\cdot4=\dfrac{180}{7}$; $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot18\cdot18=162$, $S_{AKM}=\dfrac{5}{9}\cdot81=45$. Отношение $\dfrac{180}{7}:45=\dfrac{4}{7}$ — сходится.