Треугольники — Задание 25 ОГЭ по математике №00045914

💡 Идея. Сначала узнаем, в каком отношении точка $P$ делит сторону $BC$, — для этого проведём через середину $M$ вспомогательную прямую, параллельную $AP$. А потом сравним площади треугольников с общей вершиной $K$ через их основания.

Через $M$ проведём прямую, параллельную $AP$; она пересечёт $BC$ в точке $T$.

В треугольнике $APC$ точка $M$ — середина стороны $AC$ (ведь $BM$ — медиана), а $MT\parallel AP$. Правило: прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, делит третью сторону пополам — это средняя линия. Значит, $T$ — середина $PC$: $PT=TC$.

В треугольнике $BMT$ прямая $KP$ параллельна стороне $MT$. Правило (обобщённая теорема Фалеса): параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Поэтому

$$\dfrac{BP}{PT}=\dfrac{BK}{KM}=\dfrac{5}{2}.$$

Пусть $PT=TC=2x$, тогда $BP=5x$. Получаем $PC=2x+2x=4x$ и $BC=5x+4x=9x$.

Теперь площади. Медиана делит площадь пополам: у треугольников $ABM$ и $CBM$ равные основания $AM=MC$ и общая высота из $B$. При замене основания $BM$ на $BK$ площадь каждого уменьшается в одинаковом отношении $BK:BM$, потому что высота из соответствующей вершины остаётся прежней. Поэтому $S_{ABK}=S_{CBK}$. Это рассуждение работает и когда медиана перпендикулярна $AC$.

Треугольники $CKP$ и $CKB$ имеют общую вершину $K$, а их основания $PC$ и $BC$ лежат на одной прямой. Высота из $K$ у них общая, поэтому площади относятся как основания:

$$\dfrac{S_{CKP}}{S_{CKB}}=\dfrac{PC}{BC}=\dfrac{4x}{9x}=\dfrac{4}{9}.$$

Так как $S_{CKB}=S_{ABK}$, получаем

$$\dfrac{S_{CKP}}{S_{ABK}}=\dfrac{4}{9}.$$

Отношение площадей равно $4:9$.

Проверим себя на конкретном треугольнике: $B(0;0)$, $C(14;0)$, $A(0;14)$. Тогда $M(7;7)$, а $K$ делит $BM$ в отношении $5:2$, то есть $K(5;5)$. Прямая $AK$ при сдвиге на $5$ вправо опускается на $9$, поэтому ось $BC$ она пересекает при $x=\dfrac{14}{9}\cdot5=\dfrac{70}{9}$; значит, $PC=14-\dfrac{70}{9}=\dfrac{56}{9}$, и $\dfrac{PC}{BC}=\dfrac{56}{9\cdot14}=\dfrac{4}{9}$. Площади: $S_{CKP}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{56}{9}\cdot5=\dfrac{140}{9}$, а $S_{ABK}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot x_K=\dfrac{1}{2}\cdot14\cdot5=35$. Отношение $\dfrac{140}{9}:35=\dfrac{4}{9}$ — сходится.