Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00045913

💡 Идея. Высоты трапеции мы не знаем, зато знаем диагонали и сумму оснований. Если перенести одну диагональ параллельно, получится треугольник той же площади с известными сторонами — здесь он равнобедренный, и его площадь находится через высоту к основанию.

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC$ и $AD$, $AC=18$, $BD=14$. Средняя линия — полусумма оснований, поэтому $AD+BC=2\cdot9=18$.

Через вершину $B$ проведём прямую, параллельную диагонали $AC$; она пересечёт продолжение основания $DA$ за точку $A$ в точке $F$. Четырёхугольник $FBCA$ — параллелограмм ($FA\parallel BC$, $FB\parallel AC$), поэтому $FB=AC=18$ и $FA=BC$.

Стороны треугольника $FBD$: $FB=18$, $BD=14$ и $FD=FA+AD=BC+AD=18$.

Площадь треугольника $FBD$ равна площади трапеции. Трапеция состоит из треугольников $ABD$ и $BCD$, а треугольник $FBD$ — из треугольников $ABD$ и $FBA$. Треугольники $BCD$ и $FBA$ имеют равные основания $BC=FA$, лежащие на параллельных прямых, и одинаковую высоту — высоту трапеции, поэтому их площади равны.

Две стороны треугольника $FBD$ равны: $FB=FD=18$. Значит, он равнобедренный с основанием $BD=14$. Высота $FL$, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому $BL=14:2=7$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $FLB$:

$$FL=\sqrt{18^{2}-7^{2}}=\sqrt{324-49}=\sqrt{275}=\sqrt{25\cdot11}=5\sqrt{11}.$$

Площадь треугольника $FBD$:

$$S=\dfrac{1}{2}\cdot BD\cdot FL=\dfrac{1}{2}\cdot14\cdot5\sqrt{11}=35\sqrt{11}.$$

Площадь трапеции равна $35\sqrt{11}$.

Проверим себя формулой Герона для сторон $18$, $14$, $18$: $p=\dfrac{18+14+18}{2}=25$, и $S=\sqrt{25\cdot7\cdot11\cdot7}=\sqrt{25\cdot49\cdot11}=5\cdot7\cdot\sqrt{11}=35\sqrt{11}$ — совпало.