Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00045912

💡 Идея. Перенесём одну диагональ параллельно так, чтобы она «приставилась» к другой. Получится треугольник со сторонами, равными диагоналям и сумме оснований, и его площадь равна площади трапеции. А площадь треугольника по трём сторонам находится по формуле Герона.

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC$ и $AD$, диагонали $AC=20$ и $BD=14$. Средняя линия равна полусумме оснований, поэтому $AD+BC=2\cdot11=22$.

Через вершину $C$ проведём прямую, параллельную $BD$; она пересечёт прямую $AD$ в точке $E$. Четырёхугольник $BCED$ — параллелограмм: $BC\parallel DE$ и $BD\parallel CE$. Значит, $CE=BD=14$ и $DE=BC$.

Стороны треугольника $ACE$: $AC=20$, $CE=14$ и $AE=AD+DE=AD+BC=22$.

Почему площадь треугольника $ACE$ равна площади трапеции. Трапеция складывается из треугольников $ACD$ и $ABC$, а треугольник $ACE$ — из треугольников $ACD$ и $DCE$. У треугольников $ABC$ и $DCE$ равные основания $BC=DE$ и одинаковые высоты — расстояние между прямыми $BC$ и $AD$. Значит, их площади равны, и $S_{ABCD}=S_{ACE}$.

Площадь треугольника по трём сторонам — формула Герона: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр. Здесь

$$p=\dfrac{20+14+22}{2}=28,\qquad p-20=8,\qquad p-14=14,\qquad p-22=6.$$

$$S=\sqrt{28\cdot8\cdot14\cdot6}.$$

Разложим на множители: $28\cdot14=392=196\cdot2$ и $8\cdot6=48=16\cdot3$, поэтому

$$S=\sqrt{196\cdot16\cdot6}=14\cdot4\cdot\sqrt{6}=56\sqrt{6}.$$

Площадь трапеции равна $56\sqrt{6}$.

Проверим себя другим способом: найдём высоту треугольника $ACE$, опущенную из $C$ на $AE$, — это и высота трапеции. Пусть её основание делит $AE$ на части $x$ (от $A$) и $22-x$. Тогда $20^{2}-x^{2}=14^{2}-(22-x)^{2}$, то есть $400-x^{2}=196-484+44x-x^{2}$, откуда $44x=688$ и $x=\dfrac{172}{11}$. Высота $h=\sqrt{400-\left(\dfrac{172}{11}\right)^{2}}=\dfrac{\sqrt{48400-29584}}{11}=\dfrac{\sqrt{18816}}{11}=\dfrac{56\sqrt{6}}{11}$, и площадь трапеции равна $11\cdot h=56\sqrt{6}$ — сходится.