Ромб — Задание 17 ОГЭ по математике №00045836

В задаче ромб, в нём большая диагональ и высота, опущенная из вершины тупого угла. Нужно найти угол между высотой и большой диагональю — на рисунке он отмечен двойной дугой у точки их пересечения.

Известен угол $105^\circ$ — это тупой угол ромба (на рисунке он при нижней вершине). Верхний угол такой же: противолежащие углы ромба равны. Высота опущена из верхней вершины на левую нижнюю сторону.

Острый угол. Соседние углы ромба прилегают к одной стороне при параллельных сторонах, поэтому в сумме дают $180^\circ$:

$$180^\circ-105^\circ=75^\circ.$$

Это углы при левой и правой вершинах. Их и соединяет большая диагональ.

Диагональ — биссектриса. Правило: каждая диагональ ромба делит его углы пополам. У левой вершины диагональ и нижняя сторона образуют угол

$$75^\circ:2=37{,}5^\circ.$$

Прямоугольный треугольник. Высота, нижняя левая сторона и большая диагональ образуют треугольник с вершиной в левом углу ромба. В нём угол при основании высоты равен $90^\circ$, угол при вершине ромба — $37{,}5^\circ$. Третий угол — при точке пересечения высоты с диагональю:

$$180^\circ-90^\circ-37{,}5^\circ=52{,}5^\circ.$$

Отмеченный угол стоит по другую сторону от точки пересечения и вертикален найденному, поэтому тоже равен $52{,}5^\circ$.

Проверим себя другим путём — через верхнюю вершину. Меньшая диагональ делит верхний угол пополам: $105^\circ:2=52{,}5^\circ$ между ней и левой верхней стороной. В прямоугольном треугольнике «верхняя вершина — основание высоты — левая вершина» угол при левой вершине $75^\circ$, значит, высота отклонена от левой верхней стороны на $90^\circ-75^\circ=15^\circ$. Тогда между высотой и меньшей диагональю $52{,}5^\circ-15^\circ=37{,}5^\circ$. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому между высотой и большой диагональю $90^\circ-37{,}5^\circ=52{,}5^\circ$. Сходится.