Ромб — Задание 17 ОГЭ по математике №00045835

На рисунке ромб с горизонтальной большой диагональю. Из верхней вершины опущена высота на нижнюю левую сторону, и дугой отмечен угол между этой высотой и большой диагональю. Его и ищем.

Дугой у нижней вершины отмечен угол $115^\circ$ — он тупой. Верхний угол ему противолежит, а противолежащие углы ромба равны, так что верхний угол тоже $115^\circ$.

Шаг 1. Острый угол ромба. Правило: соседние углы ромба (как и любого параллелограмма) в сумме дают $180^\circ$ — это односторонние углы при параллельных сторонах. Поэтому углы при левой и правой вершинах равны

$$180^\circ-115^\circ=65^\circ.$$

Большая диагональ соединяет именно эти вершины — с острыми углами: в ромбе большая диагональ лежит против тупых углов.

Шаг 2. Половина острого угла. Правило: диагональ ромба делит его углы пополам. Значит, у левой вершины диагональ отходит от нижней стороны под углом

$$65^\circ:2=32{,}5^\circ.$$

Шаг 3. Маленький треугольник. Посмотри на треугольник у левой вершины: его стороны — кусок нижней левой стороны ромба, кусок высоты и кусок диагонали. Угол при основании высоты прямой (высота перпендикулярна стороне), угол при левой вершине — $32{,}5^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому угол при точке пересечения высоты и диагонали

$$180^\circ-90^\circ-32{,}5^\circ=57{,}5^\circ.$$

Отмеченный дугой угол лежит по другую сторону от этой точки и с найденным углом вертикальный, а вертикальные углы равны. Значит, искомый угол равен $57{,}5^\circ$.

Проверим себя прикидкой: на рисунке отмеченный угол острый и явно больше половины прямого угла, то есть больше $45^\circ$. Число $57{,}5^\circ$ этому подходит, а вот $32{,}5^\circ$ (если по ошибке остановиться на шаге 2) — нет.