Центральные… — Задание 16 ОГЭ по математике №00045833

Центр описанной окружности лежит на стороне $AB$ — значит, $AB$ проходит через центр и является диаметром.

Правило: вписанный угол, который опирается на диаметр, прямой. Почему: диаметр отсекает полуокружность, дугу $180^\circ$, а вписанный угол равен половине своей дуги, $180^\circ:2=90^\circ$. Угол $ACB$ опирается на диаметр $AB$, поэтому $\angle ACB=90^\circ$.

Значит, треугольник $ABC$ прямоугольный, и его острые углы вместе дают $90^\circ$ (ведь вся сумма углов $180^\circ$, а на прямой угол уходит $90^\circ$):

$$\angle ABC=90^\circ-\angle BAC=90^\circ-37^\circ=53^\circ.$$

Проверим себя ещё одним взглядом на рисунок. Отразим точку $C$ относительно центра — получим точку $D$ на окружности, и $CD$ тоже будет диаметром. У четырёхугольника $ACBD$ диагонали $AB$ и $CD$ равны и делятся точкой пересечения пополам — это прямоугольник, поэтому угол $C$ действительно прямой. Сумма углов треугольника: $37^\circ+53^\circ+90^\circ=180^\circ$. Сходится.