Центральные… — Задание 16 ОГЭ по математике №00045830

Читаем рисунок: окружность описана около треугольника $ABC$, $O$ — её центр, проведены радиусы $OB$ и $OC$. Угол $BOC$ имеет вершину в центре окружности — это центральный угол.

Правило: центральный угол вдвое больше вписанного угла, который опирается на ту же дугу.

Какой вписанный угол опирается на дугу $BC$? Тот, у которого вершина лежит на окружности напротив хорды $BC$, — угол $BAC$ с вершиной $A$. Он дан: $\angle BAC=52^\circ$. Все углы треугольника острые (при основании по $52^\circ$, при вершине $B$ — $180^\circ-52^\circ-52^\circ=76^\circ$), поэтому центр лежит внутри треугольника, как на рисунке, и угол $BOC$ опирается на ту же дугу $BC$, что и угол $BAC$:

$$\angle BOC=2\cdot\angle BAC=2\cdot 52^\circ=104^\circ.$$

Проверим себя вторым способом. Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), его ось симметрии проходит через $B$ перпендикулярно $AC$, и центр $O$ лежит на ней. Значит, $BO$ делит угол $B$ пополам: $\angle OBC=76^\circ:2=38^\circ$. Треугольник $BOC$ тоже равнобедренный ($OB=OC$ — радиусы), поэтому $\angle OCB=38^\circ$, и

$$\angle BOC=180^\circ-38^\circ-38^\circ=104^\circ.$$

Ответы совпали.