Центральные… — Задание 16 ОГЭ по математике №00045829

Читаем рисунок: $AB$ — диаметр, точка $M$ лежит на нижней полуокружности, точка $N$ — на верхней. Проведены хорды $NB$, $NM$ и $MB$. Нам нужен угол $BNM$: его вершина $N$ лежит на окружности, а стороны — хорды, значит, это вписанный угол.

Правило: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается (той дуги, что лежит между его сторонами и не содержит вершину).

Угол $ABM=38^\circ$ тоже вписанный: вершина $B$, стороны идут к $A$ и $M$. Он опирается на дугу $AM$, поэтому эта дуга вдвое больше:

$$\smile AM=2\cdot 38^\circ=76^\circ.$$

Диаметр $AB$ делит окружность на две полуокружности по $180^\circ$. Нижняя полуокружность, на которой лежит $M$, состоит из дуг $AM$ и $MB$:

$$\smile MB=180^\circ-76^\circ=104^\circ.$$

Угол $BNM$ опирается как раз на дугу $BM$ (точка $N$ на ней не лежит), поэтому

$$\angle BNM=\dfrac{104^\circ}{2}=52^\circ.$$

Проверим себя другим способом. Проведём хорду $AM$. Угол $AMB$ опирается на диаметр, поэтому он прямой. В треугольнике $ABM$: $\angle BAM=180^\circ-90^\circ-38^\circ=52^\circ$. Углы $BAM$ и $BNM$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $BM$, значит, они равны. Получилось то же самое: $52^\circ$.