Центральные… — Задание 16 ОГЭ по математике №00045831

Читаем рисунок: треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), вокруг него описана окружность с центром $O$, проведены радиусы $OB$ и $OC$. Обрати внимание: центр $O$ лежит не внутри треугольника, а за стороной $AC$. Разберёмся, почему, и найдём угол $BOC$.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle BCA=\angle BAC=28^\circ$. Тогда угол при вершине

$$\angle ABC=180^\circ-28^\circ-28^\circ=124^\circ.$$

Угол $B$ тупой — поэтому центр описанной окружности и оказался вне треугольника.

Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на его оси симметрии — прямой, которая проходит через $B$ перпендикулярно основанию $AC$. Значит, луч $BO$ делит угол $B$ пополам:

$$\angle OBC=124^\circ:2=62^\circ.$$

$OB$ и $OC$ — радиусы, они равны, поэтому треугольник $BOC$ равнобедренный и $\angle OCB=\angle OBC=62^\circ$. По сумме углов треугольника $BOC$:

$$\angle BOC=180^\circ-62^\circ-62^\circ=56^\circ.$$

Проверим себя через вписанный угол. Угол $BAC=28^\circ$ — вписанный, он опирается на дугу $BC$, не содержащую точку $A$. Центральный угол $BOC$ опирается на ту же дугу и поэтому вдвое больше: $2\cdot 28^\circ=56^\circ$. Сходится.