Прямоугольны… — Задание 15 ОГЭ по математике №00045828

Высота $CH$ проведена из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Она делит гипотенузу на два отрезка: $AH=4{,}5$ и $BH=8$.

Правило: высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы: $CH^2=AH\cdot BH$.

Откуда оно берётся: высота разрезает треугольник на два прямоугольных треугольника $ACH$ и $CBH$, у которых равны острые углы ($\angle ACH=\angle B$, оба дополняют угол $A$ до $90^\circ$). Они подобны, и $\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{CH}{BH}$.

Подставляем:

$$CH^2=4{,}5\cdot 8=36,\qquad CH=\sqrt{36}=6.$$

Проверим себя через площадь. Найдём катеты по теореме Пифагора: $AC=\sqrt{4{,}5^2+6^2}=\sqrt{20{,}25+36}=\sqrt{56{,}25}=7{,}5$ и $BC=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$. Площадь через катеты: $\dfrac{7{,}5\cdot 10}{2}=37{,}5$. Площадь через гипотенузу и высоту: $AB=4{,}5+8=12{,}5$, $\dfrac{12{,}5\cdot 6}{2}=37{,}5$. Совпало.