Прямоугольны… — Задание 15 ОГЭ по математике №00045827

Высота $CH$ опущена из вершины прямого угла на гипотенузу и разрезает треугольник $ABC$ на два маленьких прямоугольных треугольника: $ACH$ и $CBH$.

Покажем, что они подобны. В треугольнике $ACH$ угол $ACH$ дополняет угол $A$ до $90^\circ$. Но и угол $B$ дополняет угол $A$ до $90^\circ$ (в треугольнике $ABC$ острые углы вместе дают $90^\circ$). Значит, $\angle ACH=\angle B$, и прямоугольные треугольники $ACH$ и $CBH$ подобны по острому углу.

Из подобия отношения соответствующих катетов равны: катет $AH$ так относится к $CH$, как $CH$ к $BH$:

$$\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{CH}{BH}\quad\Rightarrow\quad CH^2=AH\cdot BH.$$

Подставляем числа:

$$CH^2=3{,}2\cdot 5=16,\qquad CH=\sqrt{16}=4.$$

Проверим себя теоремой Пифагора. Гипотенуза $AB=3{,}2+5=8{,}2$. Из маленьких треугольников: $AC^2=3{,}2^2+4^2=10{,}24+16=26{,}24$ и $BC^2=5^2+4^2=25+16=41$. Сумма $26{,}24+41=67{,}24$, а $AB^2=8{,}2^2=67{,}24$. Сходится.