Центральные… — Задание 16 ОГЭ по математике №00025157

💡 Идея. $OA=OB=OC$ как радиусы одной окружности — это сразу даёт два равнобедренных треугольника, а инscribed-угол теорема связывает центральные и вписанные углы.

В треугольнике $OAB$ стороны $OA=OB$ (радиусы), поэтому он равнобедренный, и углы при основании равны:

$$\angle OBA = \angle OAB = 28^\circ.$$

Тогда угол при вершине:

$$\angle AOB = 180^\circ - 28^\circ - 28^\circ = 124^\circ.$$

Угол $\angle AOB$ — центральный, он опирается на ту же дугу $AB$, что и вписанный угол $\angle ACB$. Правило: центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу:

$$\angle ACB = \dfrac{\angle AOB}{2} = \dfrac{124^\circ}{2} = 62^\circ.$$

Теперь смотрим на треугольник $ABC$: в нём известны $\angle ABC=46^\circ$ и только что найденный $\angle ACB=62^\circ$, значит:

$$\angle BAC = 180^\circ - 46^\circ - 62^\circ = 72^\circ.$$

Дальше используем ещё одну пару радиусов: $OB=OC$, поэтому треугольник $OBC$ тоже равнобедренный, и центральный угол $\angle BOC$ опирается на ту же дугу $BC$, что и вписанный $\angle BAC$:

$$\angle BOC = 2\cdot\angle BAC = 2\cdot72^\circ = 144^\circ.$$

В равнобедренном треугольнике $OBC$ угол при вершине $144^\circ$, значит, углы при основании равны:

$$\angle BCO = \angle OBC = \dfrac{180^\circ-144^\circ}{2} = \dfrac{36^\circ}{2} = 18^\circ.$$

Угол $BCO$ равен $18^\circ$.

Проверка: $18^\circ\lt \angle ACB=62^\circ$ — угол $BCO$ действительно только часть большего угла $ACB$, это логично.