ID: 00023846
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BB_1$. Известно, что $AB=5$, $BC=10$, $B_1C=8$. Найдите $AB_1$.
Ответ дайте целым числом.
Источник: Global_EE
Есть важное свойство биссектрисы треугольника: она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум прилежащим сторонам.
Биссектриса $BB_1$ выходит из вершины $B$ и упирается в сторону $AC$, разбивая её на куски $AB_1$ и $B_1C$. Прилежащие стороны — это $AB$ и $BC$. Кусок $AB_1$ «смотрит» на сторону $AB$, кусок $B_1C$ — на сторону $BC$.
$$\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AB}{BC}$$
Подставляем известные числа:
$$\frac{AB_1}{8}=\frac{5}{10}$$
Дробь справа сокращается: $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. Значит, $AB_1$ вдвое меньше $8$.
$$AB_1=8\cdot\frac{1}{2}=4$$