ID: 00023831
В треугольнике угол при вершине в $4$ раза больше одного из углов при основании и на $45^\circ$ меньше третьего угла. Найдите все углы.
Ответ дайте в градусах. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Здесь три угла связаны друг с другом, поэтому удобно всё выразить через один — через угол при основании. Обозначим его $x$ градусов.
Угол при вершине в $4$ раза больше, значит он равен $4x$.
Дальше сказано, что угол при вершине на $45^\circ$ меньше третьего угла. Значит, третий угол больше угла при вершине на эти же $45^\circ$, то есть он равен $4x+45^\circ$.
Сумма трёх углов треугольника равна $180^\circ$:
$$x+4x+(4x+45^\circ)=180^\circ$$
Складываем одинаковые слагаемые слева: $x+4x+4x=9x$.
$$9x+45^\circ=180^\circ$$
Переносим $45^\circ$ вправо:
$$9x=180^\circ-45^\circ=135^\circ$$
$$x=\frac{135^\circ}{9}=15^\circ$$
Это угол при основании. Теперь считаем остальные: угол при вершине $4\cdot 15^\circ=60^\circ$, а третий угол на $45^\circ$ больше него: $60^\circ+45^\circ=105^\circ$.
Проверка: $15^\circ+60^\circ+105^\circ=180^\circ$ — сходится.