ID: 00023589
Периметр треугольника $ABC$ равен $56$, $AB:BC=3:5$, биссектриса делит сторону $AC$ на отрезки, один из которых $AB_1=9$. Найдите все стороны треугольника.
Ответ дайте целым числом. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Биссектриса из вершины $B$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
$$\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$$
Известен отрезок $AB_1=9$, поэтому находим второй отрезок из пропорции.
$$\frac{9}{B_1C} = \frac{3}{5}$$
Умножаем крест-накрест: $3\cdot B_1C = 9\cdot 5 = 45$, значит $B_1C = 15$.
Вся сторона $AC$ складывается из двух отрезков.
$$AC = 9 + 15 = 24$$
Периметр — сумма всех трёх сторон, поэтому на две оставшиеся стороны приходится остаток.
$$AB + BC = 36 - 24 = 12$$
Эти $12$ надо разделить в отношении $3:5$, то есть на $3+5=8$ долей. Одна доля равна $12:8=1{,}5$.
$$AB = 3\cdot 1{,}5 = 4{,}5,\qquad BC = 5\cdot 1{,}5 = 7{,}5$$