ID: 00013272
Углы при одном из оснований трапеции равны 36^\circ и 54^\circ, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 25 и 11. Найдите основания трапеции.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. два данных отрезка — это полусумма и полуразность оснований; останется решить простую систему.
Один из отрезков, соединяющих середины противоположных сторон трапеции, — это средняя линия; она соединяет середины боковых сторон и равна полусумме оснований.
Сумма углов при основании равна 36^\circ+54^\circ=90^\circ. Тогда второй отрезок — соединяющий середины оснований — равен полуразности оснований (известный факт для трапеции с суммой углов при основании 90^\circ).
Полусумма всегда больше полуразности, поэтому 25 — это полусумма, а 11 — полуразность оснований.
Получаем систему: \dfrac{a+b}{2}=25 и \dfrac{a-b}{2}=11, то есть a+b=50 и a-b=22.
Сложив и вычтя уравнения, находим основания: a=36 и b=14.