ID: 00009805
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 5 и CD = 17 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём \angle AKB = 60^\circ. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. угол между диагоналями задаёт сумму дуг; через формулу хорды выразим радиус.
Угол между диагоналями равен полусумме дуг, на которые опираются его стороны: \angle AKB=\dfrac{1}{2}(\smile AB+\smile CD)=60^\circ, поэтому \smile AB+\smile CD=120^\circ.
Обозначим \smile AB=2\alpha, \smile CD=2\beta, тогда \alpha+\beta=60^\circ. По формуле хорды AB=2R\sin\alpha, CD=2R\sin\beta.
Подставим в выражение AB^2+CD^2+AB\cdot CD и воспользуемся тем, что \alpha+\beta=60^\circ (то есть \cos(\alpha+\beta)=\tfrac12): после преобразования AB^2+CD^2+AB\cdot CD=3R^2.
Значит R^2=\dfrac{AB^2+CD^2+AB\cdot CD}{3}=\dfrac{5^2+17^2+5\cdot17}{3}=\dfrac{399}{3}=133.
Отсюда радиус R=\sqrt{133}.
\sqrt{133}