ID: 00009805
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 5$ и $CD = 17$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. угол между диагоналями задаёт сумму дуг; через формулу хорды выразим радиус.
Угол между диагоналями равен полусумме дуг, на которые опираются его стороны: $\angle AKB=\dfrac{1}{2}(\smile AB+\smile CD)=60^\circ$, поэтому $\smile AB+\smile CD=120^\circ$.
Обозначим $\smile AB=2\alpha$, $\smile CD=2\beta$, тогда $\alpha+\beta=60^\circ$. По формуле хорды $AB=2R\sin\alpha$, $CD=2R\sin\beta$.
Подставим в выражение $AB^2+CD^2+AB\cdot CD$ и воспользуемся тем, что $\alpha+\beta=60^\circ$ (то есть $\cos(\alpha+\beta)=\tfrac12$): после преобразования $AB^2+CD^2+AB\cdot CD=3R^2$.
Значит $R^2=\dfrac{AB^2+CD^2+AB\cdot CD}{3}=\dfrac{5^2+17^2+5\cdot17}{3}=\dfrac{399}{3}=133$.
Отсюда радиус $R=\sqrt{133}$.
$\sqrt{133}$