ID: 00009803
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $32$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. «биссектриса совпала с высотой» делает треугольник равнобедренным — дальше координаты.
Пусть медиана $AD$ (где $D$ — середина $BC$) и биссектриса $BE$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом, причём $AD=BE=32$.
В треугольнике $ABD$ отрезок $BP$ — одновременно биссектриса угла $B$ и высота (так как $BP\perp AD$), значит треугольник $ABD$ равнобедренный: $BA=BD$.
Следовательно $AB=BD=\dfrac{1}{2}BC$, то есть $BC=2\cdot AB$. Точка $P$ — середина $AD$, поэтому $AP=PD=\dfrac{L}{2}=16$.
Введём координаты: $P$ в начале, $AD$ вдоль одной оси, $BE$ вдоль другой; из равенств $AD=BE=32$ и условия медианы/биссектрисы выразим стороны.
Аккуратные вычисления дают стороны треугольника: $AB=8\sqrt{13}$, $BC=16\sqrt{13}$, $AC=24\sqrt{5}$.
$8\sqrt{13}$; $16\sqrt{13}$; $24\sqrt{5}$