ID: 00009802
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $13:12$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC = 20$.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. отношение, в котором делится высота, прямо задаёт косинус угла $A$; дальше — теорема синусов.
Пусть биссектриса из вершины $A$ пересекает высоту $BH$ (где $H$ — основание высоты из $B$ на $AC$) в точке $O$. По условию $BO:OH=13:12$, считая от $B$.
В прямоугольном треугольнике $ABH$ биссектриса угла $A$ делит противоположную сторону $BH$ в отношении прилежащих сторон: $\dfrac{BO}{OH}=\dfrac{AB}{AH}$.
Значит $\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{13}{12}$, а так как в прямоугольном треугольнике $ABH$ отношение $\dfrac{AH}{AB}=\cos A$, получаем $\cos A=\dfrac{12}{13}$.
Тогда $\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\dfrac{\sqrt{13^2-12^2}}{13}=\dfrac{5}{13}$.
По теореме синусов для треугольника $ABC$: $2R=\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{20\cdot 13}{5}$, откуда $R=\dfrac{20\cdot 13}{2\cdot 5}=26$.
$26$