ID: 00009785
Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$, лежащей на стороне $BC$. Докажите, что $K$ — середина $BC$.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. каждая биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, и половины стороны оказываются равными.
Пусть в параллелограмме $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются в точке $K$, лежащей на стороне $BC$.
Биссектриса угла $A$ образует с основанием $BC$ накрест лежащие равные углы (стороны параллелограмма параллельны), поэтому отсекает равнобедренный треугольник: отрезок $BK$ равен прилежащей боковой стороне.
Точно так же биссектриса угла $D$ даёт равнобедренный треугольник у другого конца, и отрезок $KC$ равен другой боковой стороне.
В параллелограмме противоположные (боковые) стороны равны, поэтому $BK=KC$.
Точка $K$ делит сторону $BC$ на две равные части $BK=KC$, значит $K$ — середина $BC$, что и требовалось доказать.