ID: 00009711
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
Источник: ФИПИ
Введём сторону квадрата $a$ и поместим $A$ и $O$ в координаты: тогда $O$ — середина стороны $CD$, а расстояние $OA$ есть гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $\dfrac{a}{2}$.
По теореме Пифагора $OA^2=a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\dfrac{5a^2}{4}$, значит площадь $a^2=\dfrac{4\,OA^2}{5}$.
Подставляем $OA=\dfrac{\sqrt5}{2}$:
$$S=a^2=\dfrac{4\cdot\left(\dfrac{\sqrt5}{2}\right)^2}{5}=1.$$