Введём сторону квадрата a и поместим A и O в координаты: тогда O — середина стороны CD, а расстояние OA есть гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и \dfrac{a}{2}.

По теореме Пифагора OA^2=a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\dfrac{5a^2}{4}, значит площадь a^2=\dfrac{4\,OA^2}{5}.

Подставляем OA=\dfrac{\sqrt5}{2}:

S=a^2=\dfrac{4\cdot\left(\dfrac{\sqrt5}{2}\right)^2}{5}=1.