💡 Идея. свяжем высоту, точку на полуокружности и точку пересечения высот через произведения отрезков.

Точка M лежит на полуокружности с диаметром BC, поэтому \angle BMC=90^\circ, и MD — высота прямоугольного треугольника BMC, опущенная на гипотенузу BC.

По свойству высоты прямоугольного треугольника MD^2=BD\cdot DC, то есть BD\cdot DC=6^2=36.

С другой стороны, для точки пересечения высот (ортоцентра) H выполняется AD\cdot DH=BD\cdot DC (произведение отрезков высоты AD равно произведению отрезков стороны BC).

Отсюда DH=\dfrac{BD\cdot DC}{AD}=\dfrac{36}{9}=4.

Тогда AH=AD-DH=9-4=5.