Задание 19 Базовая Математика №00051370

Обозначим цифры исходного числа $a$, $b$, $c$, $d$: число $\overline{abcd}$, перевёрнутое — $\overline{dcba}$.

Число кратно $5$, поэтому $d=0$ или $d=5$. При $d=0$ перевёрнутое число начиналось бы с нуля, а оно четырёхзначное. Значит, $d=5$.

Распишем разность по разрядам:

$$\overline{abcd}-\overline{dcba}=999(a-d)+90(b-c)=3546.$$

Все три числа делятся на $9$, сократим на $9$:

$$111(a-d)+10(b-c)=394.$$

Первая цифра не больше $9$, а $d=5$, поэтому $a-d$ не больше $4$. Разность средних цифр лежит от $-9$ до $9$, значит, $10(b-c)$ — от $-90$ до $90$.

При $a-d=3$ остаётся $10(b-c)=394-333=61$ — на $10$ не делится. При $a-d=2$ и меньше остаётся не меньше $394-222=172$ — больше $90$. Подходит только $a-d=4$:

$$10(b-c)=394-444=-50,\quad b-c=-5.$$

Значит, $a=9$, а цифра десятков на $5$ больше цифры сотен: $(b;c)$ = $(0;5)$, $(1;6)$, $(2;7)$, $(3;8)$, $(4;9)$. Получаем $9055$, $9165$, $9275$, $9385$, $9495$.

Проверим себя: $9055-5509=3546$.

Почему засчитываются и другие числа. Условие задаёт только разность крайних цифр и разность средних. Пару средних цифр с разностью $-5$ можно выбрать пятью способами, поэтому подходят все пять чисел: $9055$, $9165$, $9275$, $9385$, $9495$ — например, $9495-5949=3546$. Засчитывается любое из них.