Задание 19 Базовая Математика №00051369

Обозначим цифры исходного числа $a$, $b$, $c$, $d$: само число — $\overline{abcd}$, перевёрнутое — $\overline{dcba}$.

Число кратно $5$, значит, $d=0$ или $d=5$. Если $d=0$, перевёрнутое число начинается с нуля и четырёхзначным не будет. Поэтому $d=5$.

Распишем оба числа по разрядам и вычтем:

$$\overline{abcd}-\overline{dcba}=(1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)=999(a-d)+90(b-c).$$

Нужно, чтобы $999(a-d)+90(b-c)=1539$. Средние цифры дают вклад не больше $90\cdot9=810$ по величине, поэтому без крайних цифр до $1539$ не дотянуть: $a-d\ge1$.

Если $a-d=1$, то $90(b-c)=1539-999=540$, откуда $b-c=6$.

Если $a-d=2$, то $90(b-c)=1539-1998=-459$, а $459$ на $90$ не делится. При $a-d\ge3$ вклад крайних цифр не меньше $2997$, и средние цифры не уменьшат его до $1539$.

Значит, $a=d+1=6$ и $b-c=6$. Подходят пары $(b;c)$: $(6;0)$, $(7;1)$, $(8;2)$, $(9;3)$. Получаем числа $6605$, $6715$, $6825$, $6935$.

Проверим себя: $6605-5066=1539$.

Почему засчитываются и другие числа. Условие фиксирует только разность крайних цифр и разность средних, а сами средние цифры можно сдвигать вместе. Поэтому подходят все четыре числа: $6605$, $6715$, $6825$, $6935$ — например, $6935-5396=1539$. Засчитывается любое из них.