ID: 00036192
Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с меньшим числом граней?
Источник: ФИПИ
У правильной треугольной призмы $6$ вершин, $9$ рёбер, $5$ граней: два треугольных основания и три прямоугольные боковые грани.
Секущая плоскость проходит через точки $A$ и $B$ на верхних рёбрах и точку $C$ на нижнем ребре. Такая плоскость пересекает поверхность призмы не по треугольнику, а по четырёхугольнику — кроме $A$, $B$, $C$ она задевает ещё одну точку на четвёртом ребре призмы.
Это сечение отделяет от призмы небольшой «клин» у одной из боковых граней и оставляет вторую, бо́льшую часть.
У клина: $6$ вершин, $9$ рёбер, $5$ граней. Проверим по формуле Эйлера для многогранников $B-P+\Gamma=2$:
$$6-9+5=2 — верно.$$
У второй части: $8$ вершин, $12$ рёбер, $6$ граней — тоже $8-12+6=2$, всё сходится.
Меньше граней у клина ($5<6$). У него $6$ вершин — это и есть ответ.