Задание 5 ЕГЭ по математике №00048767

Монета симметричная, поэтому при каждом броске орёл и решка выпадают с вероятностью $\dfrac12$, а броски не зависят друг от друга. Значит, любая конкретная серия из $20$ бросков (например, «орёл, решка, решка, …») имеет одну и ту же вероятность $\left(\dfrac12\right)^{20}$.

Вероятность события «ровно $10$ орлов» равна числу серий с $10$ орлами, умноженному на $\left(\dfrac12\right)^{20}$. Число таких серий — это сколькими способами можно выбрать $10$ бросков из $20$, на которых выпадет орёл, то есть $C_{20}^{10}$.

Точно так же событию «ровно $9$ орлов» отвечают $C_{20}^{9}$ серий. Множитель $\left(\dfrac12\right)^{20}$ в обеих вероятностях одинаковый, поэтому в отношении он сокращается:

$$\dfrac{P(10)}{P(9)}=\dfrac{C_{20}^{10}}{C_{20}^{9}}.$$

Распишем числа сочетаний через факториалы:

$$C_{20}^{10}=\dfrac{20!}{10!\cdot10!},\qquad C_{20}^{9}=\dfrac{20!}{9!\cdot11!}.$$

При делении $20!$ уходит, и остаётся

$$\dfrac{C_{20}^{10}}{C_{20}^{9}}=\dfrac{9!\cdot11!}{10!\cdot10!}=\dfrac{11!}{10!}\cdot\dfrac{9!}{10!}=11\cdot\dfrac{1}{10}=1{,}1.$$

Проверим прямым счётом: $C_{20}^{9}=167960$, $C_{20}^{10}=184756$, и $184756:167960=1{,}1$.