Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043790

Обозначим $\angle CAD=\varphi$, тогда $\angle BAC=2\varphi$, и биссектриса $AL$ делит его на два угла по $\varphi$.

Пункт а. $BC\parallel AD$, поэтому $\angle BCA=\angle CAD=\varphi$ (накрест лежащие). В треугольниках $BAL$ и $BCA$ угол $B$ общий, а $\angle BAL=\varphi=\angle BCA$. Значит, они подобны:

$$\dfrac{AL}{CA}=\dfrac{AB}{CB}.$$

Это и есть $AL:AC=AB:BC$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. В треугольнике $ALC$: $\angle LAC=\varphi$ и $\angle LCA=\varphi$, он равнобедренный: $LA=LC$. Значит, $L$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$.

Точка $E$: $EA=EC$, тоже на серединном перпендикуляре. Найдём углы треугольника $AEC$: точка $E$ на продолжении $CD$ за $D$, поэтому луч $CE$ совпадает с лучом $CD$, и $\angle ECA=\angle DCA=\angle BAC=2\varphi$ (накрест лежащие при $AB\parallel CD$). Треугольник $AEC$ равнобедренный с углами $2\varphi$ при основании $AC$.

Пусть $H$ — середина $AC$. Тогда

$$LH=AH\operatorname{tg}\varphi,\qquad EH=AH\operatorname{tg}2\varphi.$$

Точка $L$ лежит на стороне $BC$ — по ту же сторону от $AC$, что и $B$; точка $E$ на продолжении $CD$ — по ту же сторону, что и $D$. Значит, $L$ и $E$ по разные стороны от $AC$, и $EL=LH+HE$.

Посчитаем: $AH=10{,}5$, $\operatorname{tg}\varphi=0{,}4$,

$$\operatorname{tg}2\varphi=\dfrac{2\cdot0{,}4}{1-0{,}16}=\dfrac{0{,}8}{0{,}84}=\dfrac{20}{21}.$$

$$EL=10{,}5\cdot0{,}4+10{,}5\cdot\dfrac{20}{21}=4{,}2+10=14{,}2.$$

Проверим, что конфигурация существует: углы треугольника $ABC$ равны $2\varphi$, $\varphi$ и $180^\circ-3\varphi$; при $\operatorname{tg}\varphi=0{,}4$ угол $\varphi\approx21{,}8^\circ$, $3\varphi\lt180^\circ$, а $2\varphi\lt90^\circ$, так что треугольник $AEC$ с углами $2\varphi$ при основании существует.