Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043781

Здесь ромб, его диагонали перпендикулярны и делятся центром пополам. Поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный, а прямая $KL$ режет его стороны. Пункт а решается теоремой Менелая — для него даже не нужна перпендикулярность. Она понадобится в пункте б: из неё мы узнаем форму ромба.

Пусть $O$ — центр ромба, $OA=p$, $OB=q$, сторона $AB=s$, а $T$ — точка пересечения прямых $KL$ и $AB$.

Положение точек. $AK:KC=1:3$ и $AC=2p$, поэтому $AK=\dfrac14\cdot2p=\dfrac p2$. Значит, $K$ — середина $AO$ и $KO=\dfrac p2$. $BL:LD=2:1$ и $BD=2q$, поэтому $BL=\dfrac23\cdot2q=\dfrac{4q}{3}$. Это больше $OB=q$, так что $L$ лежит за центром, на отрезке $OD$, и $OL=\dfrac{4q}{3}-q=\dfrac q3$.

Пункт а. Прямая $KL$ пересекает сторону $AO$ треугольника $AOB$ в точке $K$, сторону $AB$ — в точке $T$, а продолжение стороны $OB$ за точку $O$ — в точке $L$. Теорема Менелая: если обойти треугольник по кругу через точки на прямой, произведение трёх отношений равно $1$:

$$\dfrac{AK}{KO}\cdot\dfrac{OL}{LB}\cdot\dfrac{BT}{TA}=1.$$

Подставим известное: $\dfrac{AK}{KO}=\dfrac{p/2}{p/2}=1$, $\dfrac{OL}{LB}=\dfrac{q/3}{4q/3}=\dfrac14$. Получаем $1\cdot\dfrac14\cdot\dfrac{BT}{TA}=1$, то есть $\dfrac{BT}{TA}=4$.

Значит, $AT:TB=1:4$: прямая $KL$ делит сторону $AB$ в отношении $1:4$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Из пункта а $AT=\dfrac s5$. Теперь используем, что $KT\perp AB$. Опустим высоту $OH$ прямоугольного треугольника $AOB$ на гипотенузу $AB$. Прямые $KT$ и $OH$ обе перпендикулярны $AB$, значит, параллельны. Параллельные прямые отсекают на сторонах угла $A$ пропорциональные отрезки:

$$\dfrac{AT}{AH}=\dfrac{AK}{AO}=\dfrac12,\qquad AH=2AT=\dfrac{2s}{5}.$$

Катет прямоугольного треугольника — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на неё: $AO^2=AB\cdot AH$. Отсюда

$$p^2=s\cdot\dfrac{2s}{5}=\dfrac{2s^2}{5},\qquad q^2=s^2-p^2=\dfrac{3s^2}{5}.$$

Треугольник $KOL$ прямоугольный (угол при $O$ — угол между диагоналями), его катеты $OK=\dfrac p2$ и $OL=\dfrac q3$. По теореме Пифагора:

$$KL^2=\dfrac{p^2}{4}+\dfrac{q^2}{9}=\dfrac{2s^2}{20}+\dfrac{3s^2}{45}=\dfrac{s^2}{10}+\dfrac{s^2}{15}=\dfrac{3s^2+2s^2}{30}=\dfrac{s^2}{6}.$$

При $KL=6$: $s^2=6\cdot36=216$, $s=\sqrt{216}=\sqrt{36\cdot6}=6\sqrt6$.

Проверим себя: перпендикулярность $KT\perp AB$ должна выполняться. Тогда $AT=AK\cdot\cos A$, где $\cos A=\dfrac{AO}{AB}=\dfrac ps$. Получаем $AT=\dfrac p2\cdot\dfrac ps=\dfrac{p^2}{2s}=\dfrac{2s^2/5}{2s}=\dfrac s5$ — то же, что дала теорема Менелая. Всё сходится.