Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043786

Решим задачу в координатах: центр ромба — в начало, диагонали — по осям.

Пусть $A(-p;0)$, $C(p;0)$, $B(0;-q)$, $D(0;q)$.

Точки $E$ и $R$. $BE:EC=1:4$, поэтому $E=B+\dfrac15\overrightarrow{BC}=\left(\dfrac p5;\,-q+\dfrac q5\right)=\left(\dfrac p5;\,-\dfrac{4q}{5}\right)$. $BR:RD=1:3$, поэтому $R=B+\dfrac14\overrightarrow{BD}=\left(0;\,-\dfrac q2\right)$.

Пункт а. Прямая $ER$ перпендикулярна $BC$: скалярное произведение $\overrightarrow{ER}=\left(-\dfrac p5;\,\dfrac{3q}{10}\right)$ и $\overrightarrow{BC}=(p;\,q)$ равно нулю:

$$-\dfrac{p^2}{5}+\dfrac{3q^2}{10}=0\ \Longrightarrow\ q^2=\dfrac{2p^2}{3}.$$

Точка $M$ — пересечение прямой $ER$ с осью абсцисс. Запишем прямую через $R$: $(x;y)=\left(0;-\dfrac q2\right)+t\left(-\dfrac p5;\dfrac{3q}{10}\right)$. Ордината обнуляется при $\dfrac{3qt}{10}=\dfrac q2$, то есть $t=\dfrac53$, и тогда $x=-\dfrac p3$. Итак, $M\left(-\dfrac p3;0\right)$.

По абсциссам: $CM=p+\dfrac p3=\dfrac{4p}{3}$, $MA=p-\dfrac p3=\dfrac{2p}{3}$, $CM:MA=2:1$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $M$ и $R$ лежат на разных осях, поэтому

$$MR^2=\dfrac{p^2}{9}+\dfrac{q^2}{4}=\dfrac{p^2}{9}+\dfrac{p^2}{6}=\dfrac{5p^2}{18}.$$

Сторона ромба: $AB^2=p^2+q^2=\dfrac{5p^2}{3}=6\,MR^2=6\cdot12=72$, $AB=6\sqrt2$. Периметр $4\cdot6\sqrt2=24\sqrt2$.

Проверим пункт а вторым способом. Точка $R$ — середина $OB$. Из прямоугольного треугольника $BER$: $BE=BR\cos\angle OBC=\dfrac q2\cdot\dfrac{q}{AB}$, и $\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{q^2}{2(p^2+q^2)}=\dfrac{2/3}{2\cdot5/3}=\dfrac15$ — совпадает с условием. Значит, связь $q^2=\dfrac{2p^2}{3}$ найдена верно.