Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043784

Биссектриса и параллельная прямая всегда дают равнобедренный треугольник — здесь таких два.

Пункт а. Треугольник $AKP$: $\angle AKP=\angle PKN$ ($KP$ — биссектриса), а $\angle KPA=\angle PKN$ (накрест лежащие при $AB\parallel KN$). Значит, $\angle AKP=\angle APK$ и $AK=AP$.

Треугольник $PBM$: $\angle BMP=\angle PML$ ($MP$ — биссектриса угла $LMN$), а $\angle BPM=\angle PML$ (накрест лежащие при $AB\parallel LM$). Значит, $BP=BM$.

Условие $AB=KL$: $AP+PB=KA+AL$. Так как $AP=AK$, получаем $PB=AL$, то есть $AL=BM$.

Прямые $LM$, $AB$, $KN$ параллельны и отсекают на боковых сторонах пропорциональные отрезки: $\dfrac{LA}{AK}=\dfrac{MB}{BN}$. Числители равны ($LA=MB$), значит, равны и знаменатели: $AK=BN$. Тогда $KL=KA+AL=NB+BM=MN$. Боковые стороны трапеции равны, а параллелограммом она не является — значит, она равнобедренная. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Пусть $\theta=\angle LKN$. В равнобедренной трапеции $\angle MNK=\theta$. Из $AP:PB=1:2$ положим $AK=AP=x$, $BM=BP=2x$.

Треугольник $AKP$: углы при основании $KP$ равны $\dfrac\theta2$, поэтому $KP=2\cdot AK\cos\dfrac\theta2=2x\cos\dfrac\theta2$.

Треугольник $PBM$: угол при вершине $B$ между лучами $BP$ (параллелен $NK$) и $BM$ (идёт по $NM$) равен углу $KNM=\theta$. Основание $PM=2\cdot BP\sin\dfrac\theta2=4x\sin\dfrac\theta2$.

Условие $KP:PM=2:3$:

$$\dfrac{2x\cos\frac\theta2}{4x\sin\frac\theta2}=\dfrac23\ \Longrightarrow\ \operatorname{ctg}\dfrac\theta2=\dfrac43,\quad \operatorname{tg}\dfrac\theta2=\dfrac34.$$

Косинус угла через тангенс половинного:

$$\cos\theta=\dfrac{1-\operatorname{tg}^2\frac\theta2}{1+\operatorname{tg}^2\frac\theta2}=\dfrac{1-\frac{9}{16}}{1+\frac{9}{16}}=\dfrac{7}{25}=0{,}28.$$

Проверим построением: при $\cos\theta=0{,}28$, $AK=1$, $AL=2$ трапеция с точкой $B$ на $MN$ на той же высоте, что $A$, существует, и пересечение биссектрис действительно даёт $KP:PM=2:3$, $AP:PB=1:2$. Заметим: точки $K$, $P$, $M$ не лежат на одной прямой — это отрезки разных биссектрис.