Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043785

В трапеции две биссектрисы и прямая, параллельная основаниям. Параллельные прямые дают равные накрест лежащие углы, а прямая $AB$ отсекает от обеих боковых сторон одну и ту же долю. Запишем всё через эту долю — и равенство $AB=KL$ само подскажет ответ. Пусть $\theta=\angle LKN$.

Пункт а. $\angle KPA=\angle PKN$ (накрест лежащие при $AB\parallel KN$), а $\angle PKN=\angle AKP$ (биссектриса). Значит, $AK=AP$. Аналогично $\angle BPM=\angle PML$ (накрест лежащие при $AB\parallel LM$) $=\angle PMB$ (биссектриса), значит, $BP=BM$.

Прямая $AB$ параллельна основаниям, поэтому по теореме Фалеса она отсекает от боковых сторон одну и ту же долю: $\dfrac{LA}{LK}=\dfrac{MB}{MN}=\lambda$. Точка $P$ лежит внутри трапеции, поэтому $AB$ проходит строго между основаниями и $0\lt\lambda\lt1$. Тогда $MB=\lambda\cdot MN$ и $AK=(1-\lambda)\cdot KL$.

Распишем $AB$ по точке $P$ и приравняем к $KL$:

$$AB=AP+PB=AK+BM=(1-\lambda)\,KL+\lambda\cdot MN=KL\iff \lambda\,(MN-KL)=0.$$

Так как $\lambda\ne0$, получаем $MN=KL$. Трапеция с равными боковыми сторонами, не являющаяся параллелограммом, — равнобедренная. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Из $AP:PB=3:2$ положим $AK=AP=3x$, $BM=BP=2x$.

Угол $KAP$ треугольника $AKP$: луч $AP$ параллелен лучу $KN$, поэтому $\angle KAP=180^\circ-\theta$. По теореме косинусов:

$$KP^2=(3x)^2+(3x)^2-2\cdot3x\cdot3x\cdot\cos(180^\circ-\theta)=18x^2+18x^2\cos\theta=18x^2(1+\cos\theta).$$

В треугольнике $PBM$ угол при вершине $B$ равен углу $N$ трапеции: луч $BP$ параллелен лучу $NK$, а луч $BM$ лежит на $NM$. В равнобедренной трапеции $\angle N=\angle K=\theta$. По теореме косинусов:

$$PM^2=(2x)^2+(2x)^2-2\cdot2x\cdot2x\cdot\cos\theta=8x^2(1-\cos\theta).$$

Условие $KP:PM=4:3$ возведём в квадрат: $\dfrac{KP^2}{PM^2}=\dfrac{16}{9}$. Обозначим $c=\cos\theta$:

$$\dfrac{18(1+c)}{8(1-c)}=\dfrac{16}{9}\iff 162(1+c)=128(1-c)\iff 290c=-34\iff c=-\dfrac{34}{290}=-\dfrac{17}{145}.$$

Угол $LKN$ получился тупым — тогда $KN$ меньшее основание. Это условию не противоречит.

Проверим другим способом — через половину угла. Из равнобедренных треугольников $KP=2\cdot3x\cos\dfrac\theta2$ и $PM=2\cdot2x\sin\dfrac\theta2$, поэтому $\dfrac{6\cos\frac\theta2}{4\sin\frac\theta2}=\dfrac43$, $\operatorname{tg}\dfrac\theta2=\dfrac98$ и $\cos\theta=\dfrac{1-\frac{81}{64}}{1+\frac{81}{64}}=-\dfrac{17}{145}$. Совпало.