Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043780

Пусть $O$ — центр ромба, $OB=q$, $OC=p$ (половины диагоналей). Диагонали перпендикулярны, и всё сведётся к прямоугольным треугольникам с вершиной $O$.

Положение точек. $AM:MC=1:2$, $AC=2p$, поэтому $AM=\dfrac{2p}{3}$, точка $M$ лежит между $A$ и $O$, и $OM=p-\dfrac{2p}{3}=\dfrac p3$. $BN:ND=1:3$, $BD=2q$, поэтому $BN=\dfrac q2$: $N$ — середина $OB$, $ON=\dfrac q2$.

Пункт а. Пусть прямая $MN$ пересекает $BC$ в точке $T$; $MT\perp BC$. Точка $N$ лежит между $M$ и $T$.

В прямоугольном треугольнике $BNT$: $\angle BNT=90^\circ-\angle NBT=90^\circ-\angle OBC=\angle OCB$ (в прямоугольном треугольнике $BOC$ острые углы дополняют друг друга до $90^\circ$). Углы $BNT$ и $ONM$ вертикальные, поэтому $\angle ONM=\angle OCB$.

Прямоугольные треугольники $ONM$ и $OCB$ подобны по острому углу: катет $ON$ прилежит к углу $ONM$, катет $OC$ — к углу $OCB$:

$$\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{OB}{OC}\ \Longrightarrow\ \dfrac{p/3}{q/2}=\dfrac qp\ \Longrightarrow\ 2p^2=3q^2,\quad q^2=\dfrac{2p^2}{3}.$$

Найдём $BT$ из треугольника $BNT$: $BT=BN\cos\angle OBC=\dfrac q2\cdot\dfrac{q}{BC}=\dfrac{q^2}{2BC}$. Тогда, учитывая $BC^2=p^2+q^2=\dfrac{5p^2}{3}$:

$$\dfrac{BT}{BC}=\dfrac{q^2}{2BC^2}=\dfrac{2p^2/3}{2\cdot5p^2/3}=\dfrac15.$$

Значит, $BT:TC=1:4$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Из прямоугольного треугольника $OMN$:

$$MN^2=OM^2+ON^2=\dfrac{p^2}{9}+\dfrac{q^2}{4}=\dfrac{p^2}{9}+\dfrac{p^2}{6}=\dfrac{5p^2}{18}.$$

Сторона: $BC^2=\dfrac{5p^2}{3}=6\cdot MN^2$. При $MN=\sqrt{12}$ получаем $BC^2=72$, $BC=6\sqrt2$.

Проверим в координатах при $p=3$, $q=\sqrt6$: $M(-1;0)$, $N\left(0;-\dfrac{\sqrt6}{2}\right)$, $\overrightarrow{MN}=\left(1;-\dfrac{\sqrt6}{2}\right)$, $\overrightarrow{BC}=(3;\sqrt6)$, скалярное произведение $3-3=0$ — перпендикулярны. Совпало.