Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043787

Здесь ромб, а в ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому всё удобно выразить через полудиагонали и считать в прямоугольных треугольниках с вершиной в центре.

Обозначим сторону ромба $s$, его центр $O$, полудиагонали $OB=q$, $OC=p$. Будем работать с прямоугольными треугольниками и проекциями.

Пункт а. $BR:RD=1:2$, поэтому $BR=\dfrac{BD}{3}=\dfrac{2q}{3}$: точка $R$ лежит между $B$ и $O$, и $OR=q-\dfrac{2q}{3}=\dfrac q3$. $BE:EC=1:3$, поэтому $BE=\dfrac s4$.

В прямоугольном треугольнике $BER$ (угол $E$ прямой) катет $BE$ — проекция гипотенузы $BR$ на $BC$: $BE=BR\cos\angle OBC$. Косинус угла $OBC$ виден из треугольника $BOC$: $\cos\angle OBC=\dfrac qs$. Получаем

$$\dfrac s4=\dfrac{2q}{3}\cdot\dfrac qs\ \Longrightarrow\ q^2=\dfrac{3s^2}{8},\qquad p^2=s^2-q^2=\dfrac{5s^2}{8},\qquad q^2=\dfrac{3p^2}{5}.$$

Теперь треугольник $ROM$ с прямым углом $O$. Угол $ORM$ равен углу $BRE$ (вертикальные), а $\angle BRE=90^\circ-\angle OBC$. Поэтому $\operatorname{tg}\angle ORM=\operatorname{ctg}\angle OBC=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac qp$, и

$$OM=OR\cdot\operatorname{tg}\angle ORM=\dfrac q3\cdot\dfrac qp=\dfrac{q^2}{3p}=\dfrac{3p^2/5}{3p}=\dfrac p5.$$

Прямая $ER$ идёт от стороны $BC$ через $R$ дальше, к вершине $A$: точка $M$ лежит между $O$ и $A$. Тогда $CM=p+\dfrac p5=\dfrac{6p}{5}$, $MA=p-\dfrac p5=\dfrac{4p}{5}$, и $CM:MA=3:2$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $MR$ — гипотенуза треугольника $ROM$:

$$MR^2=OR^2+OM^2=\dfrac{q^2}{9}+\dfrac{p^2}{25}=\dfrac{p^2}{15}+\dfrac{p^2}{25}=\dfrac{8p^2}{75}.$$

Сторона: $s^2=p^2+q^2=\dfrac{8p^2}{5}=15\cdot MR^2=15\cdot15=225$, $s=15$. Периметр $4\cdot15=60$.

Проверим в координатах при $p=5$, $q=\sqrt{15}$: $B(0;-\sqrt{15})$, $C(5;0)$, $E=\left(\dfrac54;-\dfrac{3\sqrt{15}}{4}\right)$, $R=\left(0;-\dfrac{\sqrt{15}}{3}\right)$. $\overrightarrow{ER}\cdot\overrightarrow{BC}=-\dfrac{25}{4}+\sqrt{15}\cdot\dfrac{5\sqrt{15}}{12}=-\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}=0$. $M(-1;0)$, $MR^2=1+\dfrac{15}{9}=\dfrac83$, сторона$^2=40=15\cdot\dfrac83$. Совпало.