Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043779

Здесь всё решает расположение точек на квадрате, поэтому удобно перевести задачу в координаты: тогда каждая площадь считается напрямую. Начало поместим в вершину $B$, оси направим по сторонам $BA$ и $BC$. Пусть сторона квадрата $s$, тогда $A(0;s)$, $C(s;0)$, $D(s;s)$. Точка $P$ на диагонали $BD$: $P(p;p)$; из $BE=BF$: $E(0;e)$, $F(e;0)$.

Площадь $EBFP$. Достроим четырёхугольник до квадрата с вершинами $B(0;0)$, $(p;0)$, $P(p;p)$, $(0;p)$ — его площадь $p^2$. Лишнее — два одинаковых прямоугольных треугольника с вершиной $P$: у одного катеты $p-e$ (по оси ординат от $E$ до $(0;p)$) и $p$, у другого так же. Поэтому

$$S_{EBFP}=p^2-2\cdot\dfrac12\cdot p\,(p-e)=p^2-p^2+ep=ep.$$

Пункт а. $BP=p\sqrt2$, $BE=e$, поэтому $BP\cdot BE=\sqrt2\,ep$. Из $BP\cdot BE=\sqrt2$ получаем $ep=1$, то есть $S_{EBFP}=1$. По условию это треть площади квадрата: $\dfrac{s^2}{3}=1$, $s=\sqrt3$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Прямая через $P$, параллельная $AC$, в координатах: $x+y=2p$. Она отсекает треугольник либо у вершины $B$ (часть $x+y\le2p$), либо у вершины $D$ (часть $x+y\ge2p$).

Пусть треугольник у вершины $B$: его катеты $2p$, площадь $2p^2$. Площади по условию равны: $ep=2p^2$, откуда $e=2p$ — ровно длина катета. Значит, $E$ и $F$ совпадают с концами гипотенузы, и $P$ лежит на $EF$. Треугольник $EPF$ вырождается — так не бывает.

Значит, треугольник у вершины $D$: его катеты $2(s-p)$, площадь $2(s-p)^2$. Условие: $2(s-p)^2=\dfrac{s^2}{3}$, откуда $s-p=\dfrac{s}{\sqrt6}$, $p=s\left(1-\dfrac{1}{\sqrt6}\right)$.

Площадь $EBF$ равна $\dfrac{e^2}{2}$. Площадь $EPF$ посчитаем напрямую: основание $EF=e\sqrt2$ лежит на прямой $x+y=e$, а высота — расстояние от $P(p;p)$ до этой прямой, $\dfrac{2p-e}{\sqrt2}$. Значит, $S_{EPF}=\dfrac12\cdot e\sqrt2\cdot\dfrac{2p-e}{\sqrt2}=\dfrac{e(2p-e)}{2}$. Отношение:

$$\dfrac{S_{EPF}}{S_{EBF}}=\dfrac{e(2p-e)/2}{e^2/2}=\dfrac{2p-e}{e}=\dfrac{2p}{e}-1.$$

Из $ep=\dfrac{s^2}{3}$ имеем $e=\dfrac{s^2}{3p}$, и $\dfrac{2p}{e}=\dfrac{6p^2}{s^2}=6\left(1-\dfrac1{\sqrt6}\right)^2=6\left(1-\dfrac{2}{\sqrt6}+\dfrac16\right)=7-2\sqrt6$.

$$\dfrac{S_{EPF}}{S_{EBF}}=7-2\sqrt6-1=6-2\sqrt6.$$

Проверим числами при $s=\sqrt3$: $p\approx1{,}732\cdot0{,}592\approx1{,}025$, $e=\dfrac{1}{p}\approx0{,}975$ — точка $E$ на стороне ($e\lt s$). $S_{EBF}\approx0{,}476$, $S_{EPF}\approx1-0{,}476=0{,}524$, отношение $\approx1{,}10$, и $6-2\sqrt6\approx1{,}10$. Совпало.