Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043789

Пусть $\alpha=\angle BAD$, $h$ — высота трапеции, $\rho$ — радиус окружности, касающейся $AB$, $CD$, $AD$. Центр окружности лежит на оси симметрии и на биссектрисе угла $A$, на высоте $\rho$ над $AD$, и $\rho=\dfrac c2\operatorname{tg}\dfrac\alpha2$.

Пункт а. Выразим $b+c-2a$ через высоту. Боковая сторона $a=\dfrac{h}{\sin\alpha}$, верхнее основание $b=c-2h\operatorname{ctg}\alpha$, поэтому

$$b+c-2a=2c-2h\left(\operatorname{ctg}\alpha+\dfrac1{\sin\alpha}\right).$$

При фиксированных $c$ и $\alpha$ это выражение убывает с ростом $h$. При какой высоте оно равно нулю? Тогда $b+c=2a$ — в трапецию можно вписать окружность, и это наша окружность: она касается боковых сторон и $AD$, а значит, верхнее основание касается её на высоте $2\rho$. Итак, $b+c-2a=0$ ровно при $h=2\rho$.

Если окружность не пересекает сторону $BC$, то прямая $BC$ лежит выше окружности (окружность находится между прямыми $AB$ и $CD$, и общая точка с прямой $BC$ была бы точкой стороны $BC$): $h\gt2\rho$. Выражение убывает, поэтому $b+c-2a\lt0$, то есть $b+c\lt2a$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $c=12$, $b=6$, $a=10$. Проекция боковой стороны на $AD$ равна $\dfrac{12-6}{2}=3$, поэтому $\cos\alpha=0{,}3$, $h=\sqrt{100-9}=\sqrt{91}$.

$$\operatorname{tg}\dfrac\alpha2=\sqrt{\dfrac{1-0{,}3}{1+0{,}3}}=\sqrt{\dfrac7{13}},\qquad \rho=6\sqrt{\dfrac{7}{13}}=\dfrac{6\sqrt{91}}{13}.$$

Средняя линия идёт на высоте $\dfrac h2=\dfrac{\sqrt{91}}{2}$, её длина $\dfrac{6+12}{2}=9$. Расстояние от центра до неё:

$$d=\left|\dfrac{\sqrt{91}}{2}-\dfrac{6\sqrt{91}}{13}\right|=\sqrt{91}\cdot\left|\dfrac{13-12}{26}\right|=\dfrac{\sqrt{91}}{26}.$$

Половина хорды:

$$\sqrt{\rho^2-d^2}=\sqrt{\dfrac{36\cdot7}{13}-\dfrac{91}{676}}=\sqrt{\dfrac{13104-91}{676}}=\sqrt{\dfrac{13013}{676}}=\sqrt{\dfrac{77}{4}}=\dfrac{\sqrt{77}}{2}.$$

Вся хорда $\sqrt{77}$.

Проверка. Условие пункта а здесь выполнено: $2\rho=\dfrac{12\sqrt{91}}{13}\approx8{,}81\lt h\approx9{,}54$, и $b+c=18\lt2a=20$. Хорда $\sqrt{77}\approx8{,}77$ короче средней линии $9$ и диаметра $2\rho\approx8{,}81$, поэтому целиком лежит на средней линии.